【11408学习记录】[特殊字符] 速解命题核心！考研数学线性代数：4类行列式满分技巧（含秒杀公式）​

数学

线性代数

具体型行列式的计算

化为基本形（12 + 1）

爪形行列式

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0\\ 1& 0& 0& 4\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\text{第3列的(−31)倍加到第1列}\\ \\ \text{第4列的(−41)倍加到第1列}\end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \text{第2列的(−21)倍加到第1列}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right] \\ \begin{array}{rl}& =(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\times 2\times 3\times 4\\ & =24-12-8-6\\ & =-2\end{array} \end{gathered}$$

方法总结
对于四种爪性行列式：

$$\begin{gathered} 左上爪=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& 0& 0\\ a_{31}& 0& a_{33}& 0\\ a_{41}& 0& 0& a_{44}\end{array}\right]左下爪=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& 0& a_{14}\\ a_{21}& 0& a_{23}& 0\\ a_{31}& a_{32}& 0& 0\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right] \\ 右上爪=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ 0& 0& a_{23}& a_{24}\\ 0& a_{32}& 0& a_{34}\\ a_{41}& 0& 0& a_{44}\end{array}\right]右下爪=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& 0& a_{14}\\ 0& a_{22}& 0& a_{24}\\ 0& 0& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right] \end{gathered}$$

在计算时都是利用斜爪消除平爪或者竖爪，将其化成12 + 1 的基本形

特殊行列式

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& x-1\\ 1& -1& x+1& -1\\ 1& x-1& 1& -1\\ x+1& -1& 1& -1\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\text{第3列的1倍加到第2列}\\ \\ \text{第4列的1倍加到第3列}\end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第2列的1倍加到第1列}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& x& x-1\\ 0& x& x& -1\\ x& x& 0& -1\\ x& 0& 0& -1\end{array}\right] \\ \underset{\begin{array}{c}\text{第3列的x1倍加到第4列}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第1列的x1倍加到第4列}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& x& x\\ 0& x& x& 0\\ x& x& 0& 0\\ x& 0& 0& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{\frac{4\times 3}{2}}{x}^4=x^4 \end{gathered}$$
方法总结
我们可以通过行列式的性质将行列式简化成 12 + 1 的基本形

简便计算：当行列式的行元素差别不大，且第1列元素大部分相同时，则

• 将第一行的（-1）倍加至其余行，化简行列式
• 对化简整理后的行列式利用行列式的性质，将其化为 12 + 1的基本形

行（列）和相等行列式

$$\begin{gathered} D_n=\left[\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\text{⋯}\\ \\ \text{第n列的-1倍加到第n - 1列}\end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第n列的-1倍加到第1列}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{ccccc}a-b& 0& 0& \cdots & b\\ 0& a-b& 0& \cdots & b\\ 0& 0& a-b& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b-a& b-a& b-a& \cdots & a\end{array}\right] \\ 右下爪行列式\stackrel{性质3：提出第n行的公因式b-a}{\Rightarrow }(b-a)\left[\begin{array}{ccccc}a-b& 0& 0& \cdots & b\\ 0& a-b& 0& \cdots & b\\ 0& 0& a-b& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & \frac{a}{b-a}\end{array}\right] \\ \underset{\begin{array}{c}\text{⋯}\\ \\ \text{第n-1行的−a−b1倍加到第n行}\end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第1行的−a1倍加到第n行}\end{array}}{\Rightarrow }}(b-a)\left[\begin{array}{ccccc}a-b& 0& 0& \cdots & b\\ 0& a-b& 0& \cdots & b\\ 0& 0& a-b& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \frac{a}{b-a}+(n-1)(-\frac{b}{a-b})\end{array}\right] \\ \begin{array}{rl}& =(b-a)\ast (a-b{)}^{n-1}\ast [\frac{a}{b-a}+(n-1)(-\frac{b}{a-b})]\\ & =(b-a)\ast (a-b{)}^{n-1}\ast [\frac{a}{b-a}+(n-1)(\frac{b}{b-a})]\\ & =(a-b{)}^{n-1}\ast [a+(n-1)b]\end{array} \end{gathered}$$

方法总结

• 笨方法：按照上述展示过程，利用行列式的性质逐步化简至 12 + 1 的基本形

• 简便方法：当行列式中每行（列）元素之和相等时，将其余各列（行）加到第1列（行），让后提出公因式，进行初步化简；最后根据行列式的性质进一步化简成 12 + 1 的基本形

X型行列式

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& b_1\\ 0& a_2& b_2& 0\\ 0& b_3& a_3& 0\\ b_4& 0& 0& a_4\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质5：}\\ \\ \text{第2列与第4列互换}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ 0& 0& b_2& a_2\\ 0& 0& a_3& b_3\\ b_4& a_4& 0& 0\end{array}\right] \\ \underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质5：}\\ \\ \text{第2行与第4行互换}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& 0& 0\\ b_4& a_4& 0& 0\\ 0& 0& a_3& b_3\\ 0& 0& b_2& a_2\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\\ \\ \text{分块行列式}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right] \\ 由拉普拉斯展开式可得\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]=|A||B|=(a_1{a}_4-b_1{b}_4)(a_3{a}_2-b_3{b}_2) \end{gathered}$$

方法总结
X型行列式在计算时，有两种情况：

• 主副对角线上元素相同

$${\left[\begin{array}{cccc}a& \cdots & \cdots & b\\ ⋮& a& b& ⋮\\ ⋮& b& a& ⋮\\ b& \cdots & \cdots & a\end{array}\right]}_{2n}=(a^2-b^2{)}^n$$

• 主副对角线上元素不同

$${\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& \cdots & \cdots & b_1\\ ⋮& a_k& b_k& ⋮\\ ⋮& b_{k+1}& a_{k+1}& ⋮\\ b_{2k}& \cdots & \cdots & a_{2k}\end{array}\right]}_{2k}=\prod _{i=1}^k(a_i{a}_{2k+1-i}-b_i{b}_{2k+1-i})$$

递推法

建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的关系式，实现递推：

• 元素分布规律相同
• $D_{n-1}$ 比 $D_n$ 少一阶

递推法：给出 n 阶，推 n - 1 阶，n - 2 阶，……，一直往下推，推到首项的表达式（即1阶的情况）

数学归纳法：从1阶，2阶，……，找到基本规律，然后往上（即高阶）假设，假设命题对 n = k - 1 时成立，最后证明命题对 n = k 时成立

宽对角行列式

$$\begin{gathered} D_4=\left[\begin{array}{cccc}1-a& a& 0& 0\\ -1& 1-a& a& 0\\ 0& -1& 1-a& a\\ 0& 0& -1& 1-a\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\text{第2行的1倍加到第4行}\\ \\ \text{第3行的1倍加到第4行}\end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第1行的1倍加到第4行}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cccc}1-a& a& 0& 0\\ -1& 1-a& a& 0\\ 0& -1& 1-a& a\\ -a& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\\ \\ \text{按照第4行展开}\end{array}}{\Rightarrow }}-a\times （-1{）}^{4+1}\times \left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 1-a& a& 0\\ -1& 1-a& a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1-a& a& 0\\ -1& 1-a& a\\ 0& -1& 1-a\end{array}\right]=a^4+D_3 \\ {D}_3=\left[\begin{array}{ccc}1-a& a& 0\\ -1& 1-a& a\\ 0& -1& 1-a\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\text{第2行的1倍加到第3行}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第1行的1倍加到第3行}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{ccc}1-a& a& 0\\ -1& 1-a& a\\ -a& 0& 1\end{array}\right] \\ \underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\\ \\ \text{按照第3行展开}\end{array}}{\Rightarrow }}-a\times (-1{)}^{3+1}\times \left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-a& a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1-a& a\\ -1& 1-a\end{array}\right]=-a^3+D_2 \\ {D}_2=\left[\begin{array}{cc}1-a& a\\ -1& 1-a\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\text{性质7：}\\ \\ \text{第1行的1倍加到第2行}\end{array}}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{cc}1-a& a\\ -a& 1\end{array}\right]\underset{\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}}{\overset{\begin{array}{c}\\ \\ \text{按照第2行展开}\end{array}}{\Rightarrow }}-a\times (-1{)}^{2+1}\times a+1-a=a^2-a+1 \\ {D}_4=a^4+D_3=a^4-a^3+D_2=a^4-a^3+a^2-a+1 \end{gathered}$$

行列式表示的函数和方程

这类问题的行列式元素 $a_{ij}$ 往往不是具体数值，而是含 $x$ 或 $\lambda$ 等的函数：

• 在行列式中，若 $a_{ij}$ 时具体数值，则行列式也是一个具体数值
• 若 $a_{ij}$ 是含 $x$ 或 $\lambda$ 等的函数，则行列式可能是自变量为 $x$ 或 $\lambda$ 等的函数

无规律行列式

$$设f(x)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& x\\ 1& 2& x^2\\ 1& 3& x^3\end{array}\right],求f(x+1)-f(x)$$
在这一题中，单看 $f(x+1)-f(x)$ 我们无法观察出什么内容，如果我们直接将 $f(x)$ 展开又太过麻烦，因此我们直接将 $x+1$ 带入到行列式中：
$$f(x+1)-f(x)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& (x+1)\\ 1& 2& (x+1{)}^2\\ 1& 3& (x+1{)}^3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& x\\ 1& 2& x^2\\ 1& 3& x^3\end{array}\right]$$

这里我们就不难发现，这两个行列式的第一列与第二列都相等，因此我们不妨借助性质3：行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k\ne 0)$ ，则 $k$ 可提到行列式外面 的逆运算—— 倍乘 性质，将-1倍乘到 $f(x)$ 的第3列中；

并借助性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和 的逆运算—— 单行可加性质，将 $f(x-1)$ 和 $f(x)$ 这两个行列式的第三列相加，于是我们就得到了一个新的行列式：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& (x+1)-x\\ 1& 2& (x+1{)}^2-x^2\\ 1& 3& (x+1{)}^3-x^3\end{array}\right]$$
接下来我们将这个行列式的第三行进行化简：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 2& 2x+1\\ 1& 3& 3x^2+3x+1\end{array}\right]$$
此时我们就可以继续通过性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变，将第一行的-1倍加到第三列，将第二行的-x倍加到第三列，这样我们就得到了最终的下三角行列式：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 3& 3x^2\end{array}\right]=6x^2$$

函数可以用含变量的行列式表示，因此，对这类行列式当然地也可以求极限、导数、积分等。

关于 $\lambda$ 的方程

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& 3\\ 1& \lambda -4& 3\\ -1& a& \lambda -5\end{array}\right]=0，该方程有二重根，求参数a的值$$
在这题中，因为是一个3阶行列式，我们可以采用笨方法——直接将行列式展开；

当然也存在简便方法——通过行列式的性质将行列式简化：

• 首先我们可以看到第一列中第二行和第三行的元素是±1，第3列中第一行和第二行的元素均为3，因此我们可以从这两点出发，将行列式凑出尽可能多的零，方便我们后续的展开；
• 其次，我们经过观察可以看到，第3行中存在未知参数a，不太好进行消元；
• 因此，我们首选第一行或者第二行进行凑0

这里我们根据性质7：将行列式中的某一行的k倍加到另一行中，行列式不变，将第一行的-1倍加到第二行中，我们就得到了新的行列式：

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& 3\\ 2-\lambda & \lambda -2& 0\\ -1& a& \lambda -5\end{array}\right]$$

此时我们不难发现，在第二行中，第一列与第二列这两个元素相加正好为0，因此我们继续消元，将第一列的1倍加到第二列，得到新的行列式：

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda -1& \lambda -3& 3\\ 2-\lambda & 0& 0\\ -1& a-1& \lambda -5\end{array}\right]$$

现在我们就可以根据第二行将行列式展开：
$$\begin{gathered} (2-\lambda )\cdot (-1{)}^{2+1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\lambda -3& 3\\ a-1& \lambda -5\end{array}\right] \\ \begin{array}{rl}& =(\lambda -2)\cdot [(\lambda -3)(\lambda -5)+3(1-a)]\\ & =(\lambda -2)({\lambda }^2-8\lambda +18-3a)=0\end{array} \end{gathered}$$

在这种 $ab=0$ 的方程中，要么 $a=0$ ，要么 $b=0$ ，要么 $a$ 、$b$ 都为0，这里我们需要根据具体情况进行分类讨论；

在题目中有提到，方程有二重根，即两个相等实根，若原式中 $\lambda -2=0$ 成立且为方程的二重根时，那说明 ${\lambda }^2-8\lambda +18-3a=0$ 的解同样是 $\lambda =2$；若原式中$\lambda -2=0$不成立，那么方程的二重根就一定来自于${\lambda }^2-8\lambda +18-3a=0$，这样我们就得到了两种情况：

• $\lambda =2$ 为方程的二重根

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^2-8\lambda +18-3a& =0\\ 2^2-8\times 2+18-3a& =0\\ 6-3a& =0\\ a& =2\end{array}$$

• $\lambda =2$ 不是方程的二重根

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^2-8\lambda +18-3a& =0\\ \Delta =(-8{)}^2-4\times 1\times (18-3a)& =0\\ 64-72+12a& =0\\ a& =\frac{2}{3}\end{array}$$

此时${\lambda }^2-8\lambda +18-3a={\lambda }^2-8\lambda +18-2={\lambda }^2-8\lambda +16=(\lambda -4{)}^2=0$，即 $\lambda =4$ 为方程的二重根。

综上所述，$a=2或a=\frac{2}{3}$

英语

每日一句

An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted — the trouble is, no one knows which half.(2013, Reading Comprehension, Part A Text 2)

词汇

An old saying has it that：常言道
advertising budgets: 广告预算

第一步：找谓语

An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted — the trouble is, no one knows which half.

第二步：断句

原句中有四处谓语，包含四件事，各谓语分布在以下部分：

• has：为主句谓语
• are wasted：为that引导的宾语从句中的谓语
• is：为破折号后的主句谓语
• knows：为表语从句中的谓语

按照标点、引导词与谓语，可以将原句断开为以下分句：

• An old saying has it —— 主句1
• that half of all advertising budgets are wasted —— 宾语从句
• — the trouble is, ——主句2
• no one knows which half. —— 表语从句

第三步：简化

破折号前

An old saying has it that half of all advertising budgets are wasted

主句

An old saying has it

• 主句主语部分：An old saying
  • 限定词：an 修饰名词：saying
  • 形容词：old 作为前置定语，修饰名词：saying
  • 名词：saying 为主句主语核心词
• 主句谓语部分：has 为及物动词，后接宾语
• 主句宾语部分：it 为形式宾语，后面的that从句为动词：has 的真正宾语

去掉主句的扩展成分，就得到了主句的核心：

• …… saying has it —— 有 …… 说法

宾语从句

that half of all advertising budgets are wasted

• 从句引导词：that 引导宾语从句，整个从句作动词：has 的宾语，引导词：that在句中不做成分
• 从句主语部分：half of all advertising budgets
  • 名词：half 为从句主语核心词
  • 介词短语：of all advertising budgets 作后置定语，补充说明 half 的范围
    • 形容词：all 与形容词：advertising 共同修饰名词：budgets
    • 名词：budgets 为介词：of 的宾语
• 从句谓语部分：are wasted 为被动语态，从句主语为该动作的承受者

去掉从句扩展成分，就得到了从句的核心：

• that half …… are wasted —— …… 一半被浪费了

破折号后

the trouble is, no one knows which half.

主句

the trouble is,

• 主句主语部分：the trouble
  • 限定词：the 修饰名词：trouble
  • 名词：trouble 为主句主语核心词
• 主句谓语部分：is 为系动词，后接表语

去掉主句扩展成分，就得到了主句的核心：

• …… trouble is —— …… 问题是

表语从句

no one knows which half.

• 从句连接词：that 被省略
• 从句主语部分：no one
  • 限定词：no 修饰代词：one
  • 代词：one 代指people
• 从句谓语部分：knows 为及物动词，后接宾语
• 从句宾语部分：which half
  • 限定词：which 修饰名词：half
  • 名词：half 为从句宾语核心词

去掉从句扩展部分，就得到了从句的核心：

• …… one knows …… half —— …… 人 知道 …… 一半