在计算几何领域，二维凸包（Convex Hull）是一项基础而关键的技术。它不仅具有深刻的几何意义，还在众多实际应用中发挥着重要作用。从计算机图形学到机器学习，从地理信息系统到机器人路径规划，凸包的应用无处不在。本文将深入探讨二维凸包的定义、性质、求解方法以及实际应用，并结合具体代码案例进行详细分析。
一、二维凸包的概念与几何意义
凸包可以形象地理解为：给定平面上的一个点集，找出一个最小的凸多边形，使得所有给定的点要么在这个多边形内部，要么在边界上。这个凸多边形就是该点集的凸包。凸包的几何意义在于，它能够以一种简洁而有效的方式描述点集的形状特征。它捕捉了点集的"外轮廓"，过滤掉了内部的细节和凹陷部分。
从数学角度来看，凸包具有以下重要性质：
- 凸性 ：凸包本身是一个凸多边形，其内部任意两点之间的线段都完全包含在凸包内。
- 极点 ：凸包的顶点一定是原始点集中的点，这些点被称为极点。它们是构成凸包的关键点。
- 唯一性 ：对于给定的点集，其凸包是唯一的。
二、二维凸包的求解方法
（一）暴力法
暴力法的基本思想是：对于点集中的每三个点，判断它们是否构成凸包的一个顶点。具体来说，检查一个点是否在其他所有点形成的半平面的同一侧。这种方法虽然直观，但时间复杂度较高，为 O(n³)，其中 n 为点集的大小。因此，它只适用于小规模的点集。
（二）分治法
分治法将点集分成两个子集，分别求出两个子集的凸包，然后将它们合并。合并的过程需要找到两个凸包之间的上下切线。分治法的时间复杂度为 O(n log n)，比暴力法高效得多。其主要步骤如下：
- 按照点的 x 坐标（或 y 坐标）对点集进行排序。
- 将点集分成左右两个子集。
- 递归地求出左右两个子集的凸包。
- 合并两个凸包，得到最终的凸包。
（三）Graham 扫描法
Graham 扫描法是一种经典的凸包求解算法，其时间复杂度为 O(n log n)。它的基本思想是：
- 找到点集中 y 坐标最小的点（如果有多个这样的点，选择 x 坐标最小的），作为起始点。
- 将其他点按照相对于起始点的极角进行排序。
- 使用一个栈结构来构建凸包。依次将点压入栈中，同时检查栈顶的三个点是否构成一个逆时针转折。如果不是，则弹出中间的点，直到满足逆时针转折条件。
（四）Andrew 算法
Andrew 算法是对 Graham 扫描法的一种改进。它将点集先按照 x 坐标排序，然后分别从左到右和从右到左扫描点集，构建上部和下部的凸包，最后将它们合并。这种方法简单易懂，且时间复杂度为 O(n log n)。
三、基于CGAL库实现
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <CGAL/Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/convex_hull_2.h>typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel K;
typedef K::Point_2 Point_2;// 从文件读取点集
std::vector<Point_2> read_points_from_file(const std::string& filename) {std::vector<Point_2> points;std::ifstream infile(filename);std::string line;while (std::getline(infile, line)) {std::istringstream iss(line);double x, y;char comma;if (iss >> x >> comma >> y) {points.emplace_back(x, y);}}return points;
}// 将凸包点集写入文件
void write_points_to_file(const std::vector<Point_2>& points, const std::string& filename) {std::ofstream outfile(filename);for (const auto& point : points) {outfile << point.x() << "," << point.y() << "\n";}
}int main() {// 输入输出文件名const std::string input_filename = "D:/input_points.txt";const std::string output_filename = "D:/convex_hull_points.txt";// 读取点集std::vector<Point_2> points = read_points_from_file(input_filename);if (points.empty()) {std::cerr << "Error: No points read from input file or file not found.\n";return 1;}// 计算凸包std::vector<Point_2> convex_hull;CGAL::convex_hull_2(points.begin(), points.end(), std::back_inserter(convex_hull));// 输出结果到控制台std::cout << convex_hull.size() << " points on the convex hull:\n";for (const auto& point : convex_hull) {std::cout << point.x() << "," << point.y() << "\n";}// 保存结果到文件write_points_to_file(convex_hull, output_filename);std::cout << "Convex hull points saved to: " << output_filename << "\n";return 0;
}
代码主要分为以下几个部分：
（一）点集的读取
通过 read_points_from_file 函数从文件中读取点集。文件中的每个点以 “x,y” 的格式存储，函数逐行读取并解析这些点，将其存储在 std::vector<Point_2> 中。这里需要注意的是，文件的格式必须严格符合要求，否则可能会导致读取错误。
（二）凸包的计算
使用 CGAL::convex_hull_2 函数计算凸包。该函数接受点集的迭代器范围和一个插入迭代器作为参数。它会将计算得到的凸包顶点依次插入到目标容器中。在这个过程中，CGAL 库内部实现了高效的凸包求解算法，我们无需关注具体的算法细节。
（三）结果的输出
计算得到的凸包顶点被输出到控制台，并保存到文件中。通过 write_points_to_file 函数将凸包顶点写入文件，便于后续的查看和分析。
四、实际应用与拓展
二维凸包在实际应用中有许多拓展和变种。例如，在地形分析中，可以通过凸包来确定地形的边界；在图像处理中，凸包可以用于物体形状的描述和分析；在机器人路径规划中，凸包可以帮助机器人避开障碍物。此外，还可以结合其他几何算法，如 Delaunay 三角剖分、Voronoi 图等，实现更复杂的应用。
总之，二维凸包是计算几何中的一个基础而重要的概念。通过本文的介绍和代码案例的分析，读者可以深入理解二维凸包的原理和求解方法，并将其应用到实际问题中。
假设输入文件 “D:/input_points.txt” 中的内容如下：
1.0,2.0
3.0,4.0
5.0,6.0
2.0,5.0
4.0,3.0
运行程序后，控制台输出如下：
5 points on the convex hull:
1,2
3,4
5,6
4,3
2,5
Convex hull points saved to: D:/convex_hull_points.txt
输出文件 “D:/convex_hull_points.txt” 中的内容如下：
1,2
3,4
5,6
4,3
2,5
以上代码和示例运行结果仅供参考，在实际应用中可根据需求进行修改和调整。
