考点一：方阵的幂
1. 计算方法
(1) 找规律法
- 适用场景：低阶矩阵或具有周期性规律的矩阵。
- 示例：
计算 A = ( 0 1 1 0 ) n A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n A=(0110)n：- 当 n n n 为奇数时， A n = A A^n = A An=A；
- 当 n n n 为偶数时， A n = I A^n = I An=I。
(2) 成比例法
- 结论：若矩阵 A A A 的秩 r ( A ) < n r(A) < n r(A)<n，则 A n = 0 A^n = 0 An=0（当 n ≥ r ( A ) + 1 n \geq r(A)+1 n≥r(A)+1 时）。
- 示例：
A = ( 0 1 0 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A=(0010)，则 A 2 = 0 A^2 = 0 A2=0。
(3) 相似对角化法
- 步骤：
- 求矩阵 A A A 的特征值 λ i \lambda_i λi；
- 若 A A A 可对角化（即存在可逆矩阵 P P P 使 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP = \Lambda P−1AP=Λ），则 A n = P Λ n P − 1 A^n = P\Lambda^n P^{-1} An=PΛnP−1。
- 示例：
A = ( 2 1 0 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} A=(2012)，其特征值为 λ 1 = λ 2 = 2 \lambda_1 = \lambda_2 = 2 λ1=λ2=2，则 A n = 2 n − 1 ( 2 n 0 2 ) A^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2 & n \\ 0 & 2 \end{pmatrix} An=2n−1(20n2)。
(4) 二项式展开法
- 适用场景：矩阵可表示为 A = B + C A = B + C A=B+C，其中 B , C B, C B,C 可交换且 C C C 易求幂。
- 公式：
( B + C ) n = ∑ k = 0 n C n k B n − k C k (B + C)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k B^{n-k} C^k (B+C)n=k=0∑nCnkBn−kCk
考点二：矩阵的转置、伴随、逆
1. 转置矩阵
- 性质：
- ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T |=|A| ∣AT∣=∣A∣
- ( k A ) T = k A T (kA)^T = k A^T (kA)T=kAT
- ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
- ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT
- ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T (A^T)^*=(A^*)^T (AT)∗=(A∗)T
- 矩阵A为对称矩阵： ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T |=|A| ∣AT∣=∣A∣
- ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT（
特别记忆）
2. 伴随矩阵
- 定义： A ∗ = ( a d j ( A ) ) i j = ( − 1 ) i + j M j i A^* = (\mathrm{adj}(A))_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ji} A∗=(adj(A))ij=(−1)i+jMji，其中 M j i M_{ji} Mji 为余子式。
- 性质：
- ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^* |=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
- ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1} A^* (kA)∗=kn−1A∗
- ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (A^*)^*=|A|^{n-2} A (A∗)∗=∣A∣n−2A
- ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (AB)^*=B^*A^* (AB)∗=B∗A∗
- ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^* (A∗)−1=(A−1)∗
3. 逆矩阵
- 存在条件：
- ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0
- 矩阵的行（列）向量组线性无关
- 矩阵满秩（ r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n）
- 求逆方法：
- 伴随矩阵法： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A−1=∣A∣1A∗
- 初等变换法：对 ( A ∣ E ) (A | E) (A∣E) 进行行变换，化为 ( E ∣ A − 1 ) (E| A^{-1}) (E∣A−1)。
- 性质：
- ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1} |=|A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣−1
- ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 (kA)^{-1} = k^{-1} A^{-1} (kA)−1=k−1A−1
- ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A
- ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
- ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1} (A−1)T=(AT)−1
考点三：初等变换与初等矩阵
1. 初等矩阵分类与运算
- 行（列）交换：交换初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行与第 j j j 行
- 逆： E i j − 1 = E i j E_{ij}^{-1} =E_{ij} Eij−1=Eij
- 转置： E i j T = E i j E_{ij}^{T} =E_{ij} EijT=Eij
- 伴随： E i j ∗ = − E i j E_{ij}^{*} =-E_{ij} Eij∗=−Eij
- 行（列）倍乘：将初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行乘 k k k 倍
- 逆： E i − 1 ( k ) = E i ( 1 k ) E_{i}^{-1}(k) =E_{i}(\frac{1}{k}) Ei−1(k)=Ei(k1)
- 转置： E i T ( k ) = E i ( k ) E_{i}^{T}(k) =E_{i}({k}) EiT(k)=Ei(k)
- 伴随： E i ∗ ( k ) = k E i ( 1 k ) E_{i}^{*}(k) =kE_{i}(\frac{1}{k}) Ei∗(k)=kEi(k1)
- 行（列）倍加：交换初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行乘 k k k 倍加到第 j j j 行
- 逆： E i j − 1 ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{-1}(k) =E_{ij}(-k) Eij−1(k)=Eij(−k)
- 转置： E i j T ( k ) = E j i ( k ) E_{ij}^{T}(k) =E_{ji}(k) EijT(k)=Eji(k)
注意这里的下标交换了位置 - 伴随： E i j ∗ ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{*}(k) =E_{ij}(-k) Eij∗(k)=Eij(−k)
初等行变化，左乘初等矩阵；初等列变化，右乘初等矩阵。左行右列
2. 核心性质
- 可逆性：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。
- 矩阵分解：可逆矩阵 A A A 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 A = P 1 P 2 ⋯ P k A = P_1 P_2 \cdots P_k A=P1P2⋯Pk。
- 秩的不变性：初等变换不改变矩阵的秩。
考点四：矩阵的秩常用结论
1. 基本性质
- r ( A ) = r ( A T ) r(A) = r(A^T) r(A)=r(AT)
- r ( k A ) = r ( A ) r(kA) = r(A) r(kA)=r(A)（ k ≠ 0 k \neq 0 k=0）
- r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A + B) \leq r(A) + r(B) r(A+B)≤r(A)+r(B)
- 相似矩阵秩相等
2. 分块矩阵秩
- 结论：
r ( A 0 0 B ) = r ( A ) + r ( B ) r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B) r(A00B)=r(A)+r(B) - 推论：若 A A A 可逆，则 r ( A B ) = r ( B ) r(AB) = r(B) r(AB)=r(B)；若 B B B 可逆，则 r ( A B ) = r ( A ) r(AB) = r(A) r(AB)=r(A)。
- m a x { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) max\{r(A),r(B)\} \leq r(A,B) \leq r(A)+ r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
3. 矩阵乘积秩
- r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)} 越乘秩越小
- 若 A m × n B n × l = 0 A_{m×n} B_{n×l}=0 Am×nBn×l=0 则有 r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A) + r(B) \leq n r(A)+r(B)≤n
4. 其他结论
- r ( A ∗ ) = r(A^*) = r(A∗)=
- n n n 当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n 时；
- 1 1 1 当 r ( A ) = n − 1 r(A) = n - 1 r(A)=n−1 时；
- 0 0 0 当 r ( A ) < n − 1 r(A) < n - 1 r(A)<n−1 时；
五、实战技巧
- 矩阵幂计算：优先判断是否可对角化，若不可对角化则尝试找递推规律。
- 逆矩阵验证：验证 A A − 1 = E AA^{-1} = E AA−1=E 或通过伴随矩阵公式计算。
- 秩的快速判断：通过初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。
总结：矩阵的核心在于理解其结构特性（如幂、逆、秩）与变换工具（如初等变换、伴随矩阵）。掌握这些方法，可高效解决线性代数中的复杂问题！ 🚀
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