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动态演示复平面变换

2025/5/16 10:21:37 来源：https://blog.csdn.net/aichitang2024/article/details/145412386  浏览:  次   关键词：动态演示复平面变换

复变函数可视化工具：动态演示复平面变换

引言

在复变函数的学习过程中，如何直观地理解函数对复平面的变换一直是一个挑战。为了帮助学习者更好地理解复变函数的几何意义，我开发了一个基于Web的复变函数可视化工具。这个工具能够动态展示复变函数如何将复平面上的点进行映射变换，让抽象的数学概念变得生动可见。最后会给出完整代码。

功能概述

界面布局

工具采用左右对比的展示方式：

  • 左侧显示原始复平面，包含标准网格和坐标轴
  • 右侧实时展示函数变换后的结果，通过动画效果直观呈现变换过程

支持的函数变换

目前支持以下几种典型的复变函数：

  1. f(z) = z (恒等映射)

    • 作为参考基准，帮助理解其他变换
    • 输出等同于输入，网格保持不变

  2. f(z) = z² (平方映射)

    • 展示了复数平方的几何效果
    • 可以观察到角度加倍、距离平方的现象

  3. f(z) = 1/z (倒数映射)

    • 演示了复数倒数的几何意义
    • 体现了圆反演的特性

  4. f(z) = z² + 1

    • 展示了复数多项式的行为
    • 观察平移变换的效果

  5. f(z) = e^z (指数映射)

    • 展示了复指数函数的周期性
    • 观察条带区域如何映射到螺旋形状

技术实现

复数运算

核心是实现了Complex类处理复数运算：

class Complex {constructor(re, im) {this.re = re;this.im = im;}// 复数加法plus(other) {return new Complex(this.re + other.re,this.im + other.im);}// 复数乘法times(other) {return new Complex(this.re * other.re - this.im * other.im,this.re * other.im + this.im * other.re);}// 其他复数运算...
}

动画实现

采用requestAnimationFrame实现平滑动画效果：

function animate() {if (!playing) return;t += 0.01; // 控制动画速度if (t > 1) {t = 1;playing = false;}drawTransGrid();if (playing) {requestAnimationFrame(animate);}
}

绘图技术

使用Canvas进行网格绘制，主要步骤：

  1. 坐标变换：将数学坐标映射到画布坐标
  2. 网格线绘制：通过循环绘制水平和垂直线条
  3. 实时更新：根据动画参数t更新网格位置

使用指南

  1. 选择函数

    • 从下拉菜单中选择要观察的函数
    • 每个函数都有其特定的几何特性

  2. 控制动画

    • 点击"播放"开始动画
    • "暂停"可以在任意时刻停止观察
    • "重置"返回初始状态

  3. 观察要点

    • 关注坐标轴的变化
    • 观察网格线的扭曲方式
    • 注意特殊点的映射关系

教育价值

这个工具在数学教育中有多重价值：

  1. 直观理解

    • 将抽象的数学概念可视化
    • 帮助建立几何直觉

  2. 互动学习

    • 学习者可以自主探索
    • 即时观察变换效果

  3. 概念联系

    • 建立代数和几何的联系
    • 理解不同函数间的关系

技术特点

  1. 响应式设计

    • 适配不同屏幕尺寸
    • 良好的移动端体验

  2. 性能优化

    • 使用requestAnimationFrame确保动画流畅
    • 优化绘图算法提高效率

  3. 代码组织

    • 模块化设计
    • 清晰的代码结构

未来展望

计划添加的功能：

  1. 更多复变函数

    • 三角函数
    • 对数函数
    • 有理函数

  2. 交互增强

    • 自定义函数输入
    • 放大缩小功能
    • 特殊点标记

  3. 教育功能

    • 添加教学注释
    • 保存动画过程
    • 导出图像功能

完整代码

<!DOCTYPE html>
<html lang="zh">
<head><meta charset="UTF-8" /><title>复数域函数动态平面变形示例</title><script src="https://cdn.tailwindcss.com"></script>
</head>
<body class="bg-gray-100 min-h-screen flex flex-col items-center p-4"><h1 class="text-2xl font-bold mb-4">复数域函数动态平面变形示例</h1><!-- 函数选择区 --><div class="mb-4 flex space-x-2 items-center"><label for="funcSelect" class="mr-2">选择函数：</label><select id="funcSelect" class="p-1 border rounded"><option value="z">f(z) = z</option><option value="z2">f(z) = z²</option><option value="1z">f(z) = 1/z</option><option value="z2plus1">f(z) = z² + 1</option><option value="expz">f(z) = e^z</option></select><!-- 动画控制按钮 --><button id="playBtn" class="px-2 py-1 bg-blue-500 text-white rounded">播放动画</button><button id="pauseBtn" class="px-2 py-1 bg-red-500 text-white rounded">暂停动画</button><button id="resetBtn" class="px-2 py-1 bg-gray-500 text-white rounded">复位</button></div><!-- 画布容器 --><div class="flex flex-col md:flex-row space-y-4 md:space-y-0 md:space-x-4"><!-- 左侧：原平面 --><div class="flex flex-col items-center"><h2 class="font-semibold mb-2">原平面 (Domain)</h2><canvas id="domainCanvas" width="400" height="400" class="border border-gray-300"></canvas></div><!-- 右侧：变形过程 (可动态演示从 t=0 到 t=1) --><div class="flex flex-col items-center"><h2 class="font-semibold mb-2">动态变形 (Intermediate → Range)</h2><canvas id="transCanvas" width="400" height="400" class="border border-gray-300"></canvas></div></div><script>// ========== 全局变量 ==========const domainCanvas = document.getElementById("domainCanvas");const domainCtx = domainCanvas.getContext("2d");const transCanvas = document.getElementById("transCanvas");const transCtx = transCanvas.getContext("2d");const funcSelect = document.getElementById("funcSelect");const playBtn = document.getElementById("playBtn");const pauseBtn = document.getElementById("pauseBtn");const resetBtn = document.getElementById("resetBtn");// 画布大小const WIDTH = 400;const HEIGHT = 400;// 数学坐标范围const XMIN = -2, XMAX = 2;const YMIN = -2, YMAX = 2;// 网格步进const STEPS = 20;// 动画控制let animationRequest = null;let t = 0;            // 插值参数 (0 ~ 1)let playing = false;  // 是否正在播放// ========== 复数结构和函数集 ==========class Complex {constructor(re, im) {this.re = re;this.im = im;}plus(other) {return new Complex(this.re + other.re, this.im + other.im);}times(other) {return new Complex(this.re * other.re - this.im * other.im,this.re * other.im + this.im * other.re);}reciprocal() {const denom = this.re * this.re + this.im * this.im;return new Complex(this.re / denom, -this.im / denom);}exp() {// e^(x+iy) = e^x (cos y + i sin y)const r = Math.exp(this.re);return new Complex(r * Math.cos(this.im), r * Math.sin(this.im));}}// （1）恒等映射 f(z) = zfunction f_z(z) {return z;}// （2）平方映射 f(z) = z^2function f_z2(z) {return z.times(z);}// （3）倒数映射 f(z) = 1/zfunction f_1z(z) {return new Complex(1, 0).times(z.reciprocal());}// （4）z^2 + 1function f_z2plus1(z) {return z.times(z).plus(new Complex(1, 0));}// （5）指数映射 f(z) = e^zfunction f_expz(z) {return z.exp();}// 根据选择返回当前函数function getCurrentFunc() {switch (funcSelect.value) {case "z":          return f_z;case "z2":         return f_z2;case "1z":         return f_1z;case "z2plus1":    return f_z2plus1;case "expz":       return f_expz;}return f_z; // 默认}// ========== 坐标变换函数 ==========// 将数学坐标映射到画布像素坐标function toCanvasX(x) {return ((x - XMIN) / (XMAX - XMIN)) * WIDTH;}function toCanvasY(y) {// 画布 Y 轴向下return HEIGHT - ((y - YMIN) / (YMAX - YMIN)) * HEIGHT;}// ========== 绘图函数 ==========// 绘制原平面的网格function drawDomainGrid(ctx) {ctx.clearRect(0, 0, WIDTH, HEIGHT);ctx.strokeStyle = "#ccc";ctx.lineWidth = 1;const stepX = (XMAX - XMIN) / STEPS;const stepY = (YMAX - YMIN) / STEPS;// 水平线for (let i = 0; i <= STEPS; i++) {const y = YMIN + i * stepY;ctx.beginPath();ctx.moveTo(toCanvasX(XMIN), toCanvasY(y));ctx.lineTo(toCanvasX(XMAX), toCanvasY(y));ctx.stroke();}// 垂直线for (let j = 0; j <= STEPS; j++) {const x = XMIN + j * stepX;ctx.beginPath();ctx.moveTo(toCanvasX(x), toCanvasY(YMIN));ctx.lineTo(toCanvasX(x), toCanvasY(YMAX));ctx.stroke();}// 画坐标轴ctx.strokeStyle = "#000";ctx.lineWidth = 2;// x 轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(toCanvasX(XMIN), toCanvasY(0));ctx.lineTo(toCanvasX(XMAX), toCanvasY(0));ctx.stroke();// y 轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(toCanvasX(0), toCanvasY(YMIN));ctx.lineTo(toCanvasX(0), toCanvasY(YMAX));ctx.stroke();}// 在插值下绘制变形网格// t=0 时画与 domainGrid 同位置// t=1 时画与 f(z) 后对应的位置function drawTransformedGrid(ctx, transformFunc, t) {ctx.clearRect(0, 0, WIDTH, HEIGHT);ctx.strokeStyle = "#ccc";ctx.lineWidth = 1;const stepX = (XMAX - XMIN) / STEPS;const stepY = (YMAX - YMIN) / STEPS;// 插值函数：z(t) = (1-t)*z + t*f(z)function interpolate(z, w, t) {return new Complex((1 - t) * z.re + t * w.re,(1 - t) * z.im + t * w.im);}// 每条水平线for (let i = 0; i <= STEPS; i++) {const y = YMIN + i * stepY;ctx.beginPath();let firstPoint = true;for (let x = XMIN; x <= XMAX + 1e-9; x += stepX / 4) {const z = new Complex(x, y);const w = transformFunc(z);const zt = interpolate(z, w, t);const px = toCanvasX(zt.re);const py = toCanvasY(zt.im);if (firstPoint) {ctx.moveTo(px, py);firstPoint = false;} else {ctx.lineTo(px, py);}}ctx.stroke();}// 每条垂直线for (let j = 0; j <= STEPS; j++) {const x = XMIN + j * stepX;ctx.beginPath();let firstPoint = true;for (let y = YMIN; y <= YMAX + 1e-9; y += stepY / 4) {const z = new Complex(x, y);const w = transformFunc(z);const zt = interpolate(z, w, t);const px = toCanvasX(zt.re);const py = toCanvasY(zt.im);if (firstPoint) {ctx.moveTo(px, py);firstPoint = false;} else {ctx.lineTo(px, py);}}ctx.stroke();}// 画插值后的 x 轴和 y 轴ctx.strokeStyle = "#000";ctx.lineWidth = 2;// x 轴: y=0ctx.beginPath();let firstAxisX = true;for (let x = XMIN; x <= XMAX + 1e-9; x += stepX / 4) {const z = new Complex(x, 0);const w = transformFunc(z);const zt = interpolate(z, w, t);if (firstAxisX) {ctx.moveTo(toCanvasX(zt.re), toCanvasY(zt.im));firstAxisX = false;} else {ctx.lineTo(toCanvasX(zt.re), toCanvasY(zt.im));}}ctx.stroke();// y 轴: x=0ctx.beginPath();let firstAxisY = true;for (let y = YMIN; y <= YMAX + 1e-9; y += stepY / 4) {const z = new Complex(0, y);const w = transformFunc(z);const zt = interpolate(z, w, t);if (firstAxisY) {ctx.moveTo(toCanvasX(zt.re), toCanvasY(zt.im));firstAxisY = false;} else {ctx.lineTo(toCanvasX(zt.re), toCanvasY(zt.im));}}ctx.stroke();}// ========== 动画相关函数 ==========function animate() {if (!playing) return;t += 0.01; // 调整速度if (t > 1) {t = 1;playing = false; }drawTransGrid();    // 绘制当前插值下的网格if (playing) {animationRequest = requestAnimationFrame(animate);}}function drawAll() {// 先画左侧固定的 domain 网格drawDomainGrid(domainCtx);// 再画右侧根据 t 的插值绘制结果drawTransGrid();}function drawTransGrid() {const currentFunc = getCurrentFunc();drawTransformedGrid(transCtx, currentFunc, t);}// ========== 按钮事件 ==========playBtn.addEventListener("click", () => {if (t >= 1) t = 0; // 如果已经到结尾，再次播放则从头开始playing = true;if (!animationRequest) animate();});pauseBtn.addEventListener("click", () => {playing = false;animationRequest = null;});resetBtn.addEventListener("click", () => {playing = false;t = 0;animationRequest = null;drawAll();});// 在函数下拉变更时，复位并重新绘制funcSelect.addEventListener("change", () => {playing = false;t = 0;animationRequest = null;drawAll();});// 页面载入时初始绘制window.onload = () => {drawAll();};</script>
</body>
</html>

结语

这个复变函数可视化工具不仅是一个教学辅助工具，也是理解复变函数几何意义的有力帮手。通过动态、直观的方式展示复变函数的变换效果，让学习复变函数变得更加生动有趣。欢迎教师和学生使用这个工具进行教学和学习，也欢迎开发者参与改进和扩展这个项目。

参考资源：

  • 复变函数教材
  • HTML5 Canvas文档
  • JavaScript动画最佳实践

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