1.6 偏导数

（铺垫）全导数与偏导数看似相似，实则对应不同维度的变化观察。理解它们的差异需要从"变量自由度"切入：

（核心差异解剖）

维度	偏导数	全导数
变量关系	其他变量被强制锁定	所有变量都通过中间变量关联变化
观察视角	显微镜下的局部切片	无人机航拍的整体运动轨迹
数学表达	∂z/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y)-f(x,y)]/Δx	dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)
物理实例	固定经度时的纬度温度变化率	飞机飞行时高度随时间的总变化率

（链式法则破局）
假设z=f(x,y)，而x=g(t), y=h(t)：

• 偏导数∂z/∂x：固定时间t，单独改变x引起z的变化
• 全导数dz/dt：当时间t流逝时，x和y都随时间变化，导致z的总变化率
• 关键公式：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt) → 像多股绳子同时拉扯物体

（机器学习中的具象化）
在RNN时间序列预测中：

• 偏导数：计算t时刻权重对损失的影响时，冻结其他时刻的权重
• 全导数：BPTT算法中，考虑权重在时间维度上的连锁影响（需要沿时间链展开）

（经典案例演示）
设z = x²y + sin(y)，其中x = e^t，y = t³：

1. 偏导数计算：
   • ∂z/∂x = 2xy → 固定y，仅看x的影响
   • ∂z/∂y = x² + cos(y) → 固定x，仅看y的影响
2. 全导数计算：
   dz/dt = (2xy)(e^t) + (x² + cos(y))(3t²)
   = 2e^t·t³·et + (e^{2t} + cos(t³))·3t²

（比喻）
想象开车时看导航：

• 偏导数：分别观察"踩油门对油耗的影响"（固定方向盘）和"开空调对油耗的影响"（固定油门）
• 全导数：实际驾驶中，边踩油门边开空调边转弯时的总油耗变化率
  → 前者是实验室条件下的单项测试，后者是真实路况的综合结果