知识点
数量积
向量的数量积也称为点积； 结果是一个标量，只有大小，没有方向。 其几何意义可以理解为向量𝛼在向量𝛽方向上的投影与向量𝛽模长的乘积
标量与实数的区别：
所有的实数都可以作为标量。因为实数本身就只有大小的属性，符合标量的定义。 但是标量不一定都是实数。在一些更复杂的数学结构或物理情境中，标量可以是其他类型的只有大小的量。
空间中的向量
3个坐标点确定的向量
结合律： λ a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = λ ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) = a ⃗ ⋅ ( λ b ⃗ \lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b} λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb(其中𝜆是实数)
由向量的数量积可推出空间中两个向量的夹角：
知识点2 ：数量积的坐标表示
平面上的向量（高中复习知识）
就是2个点确定坐标的向量
设a与𝛽的坐标分别为 ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) (a_1, b_1), (a_2, b_2) (a1,b1),(a2,b2)
则有向量a与𝛽的数量积为 a ∗ 𝛽 = a 1 b 1 + a 2 b 2 a*𝛽 = a_1b_1+a_2b_2 a∗𝛽=a1b1+a2b2;
向量a与𝛽平行的充要条件是a与𝛽对应坐标成比例，即 a 1 b 1 = a 2 b 2 \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} b1a1=b2a2;
向量a与𝛽垂直的充要条件是a*𝛽 = 0，即 a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 a_1b_1+a_2b_2=0 a1b1+a2b2=0。
非零向量v ={c1, c2} 与x轴、y轴的夹角a，𝛽的余弦称为v的方向余弦，且有
c o s 𝛼 = c 1 c 1 2 + c 2 2 cos𝛼= \frac {c_1}{\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}} cos𝛼=c12+c22c1, c o s 𝛽 = ± c 2 c 1 2 + c 2 2 cos𝛽= \pm\frac {c_2}{\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}} cos𝛽=±c12+c22c2 （根据平面中的余弦定理可得）
向量积
空间的向量积，又称外积、叉积；
向量积的结果是一个向量，既有大小又有方向。
它们向量积的结果就是垂直于这个平行四边形所在平面的向量，也称法向量
以下是其概念与性质介绍：
● 概念：
○ 定义：对于三维空间中的两个向量 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 和 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , b 3 \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})和\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3} a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，
如果它们的向量积定义为向量𝛄
𝛄 = a ⃗ × b ⃗ = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) 𝛄= \vec{a}\times\vec{b}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) 𝛄=a×b=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)
三阶行列式坐标表示形式如下：
𝛄 = ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ i − ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ j + ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ k 𝛄=\left|\begin{array} {}a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{array}\right| k 𝛄= a2b2a3b3 i− a1b1a3b3 j+ a1b1a2b2 k = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{array}\right| ia1b1ja2b2ka3b3
注：其中，i, j, k是空间中三个坐标轴上的单位向量
向量𝛄的方向就是垂直于 a ⃗ 与 b ⃗ \vec{a}与\vec{b} a与b所确定的平面
○ 模长：𝛄的长度为
● 𝛄 = ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ 𝛄=\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta 𝛄=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ，其中 θ 为 a ⃗ 与 b ⃗ \theta为\vec{a}与\vec{b} θ为a与b的夹角。
几何上， ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ \vert\vec{a}\times\vec{b}\vert ∣a×b∣的值等于以 a ⃗ 和 b ⃗ \vec{a}和\vec{b} a和b为邻边所构成平行四边形的面积。
两向量ab夹角所构成的三角形的面积为这个平行四边形面积的1/2
○ 方向 向量积𝛄的方向
● 垂直于 a ⃗ 与 b ⃗ \vec{a}与\vec{b} a与b所确定的平面（即𝛄垂直于 a ⃗ 又垂直于 b ⃗ \vec{a}又垂直于\vec{b} a又垂直于b），且遵守右手定则。
即若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从 a ⃗ 以不超过 180 度的转角转向 b ⃗ \vec{a}以不超过180度的转角转向\vec{b} a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向就是𝛄的方向。
● 性质：
○ 反交换律：
a ⃗ × b ⃗ = − （ b ⃗ × a ⃗ ） \vec{a}\times\vec{b}=-（\vec{b}\times\vec{a}） a×b=−（b×a）
这表明交换向量积的两个向量，结果向量的大小不变但方向相反。
○ 加法的分配律：
a ⃗ × ( b ⃗ + c ⃗ ) = a ⃗ × b ⃗ + a ⃗ × c ⃗ \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c} a×(b+c)=a×b+a×c
( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c} (a+b)×c=a×c+b×c
类似于实数乘法对加法的分配律，可用于向量积的运算和化简。
○ 实数结合律：
( 𝝀 a ⃗ ) × b ⃗ = a ⃗ × ( 𝝀 b ⃗ ) = 𝝀 ( a ⃗ × b ⃗ ) (𝝀\vec{a})\times\vec{b}=\vec{a}\times(𝝀\vec{b})=𝝀(\vec{a}\times\vec{b}) (𝝀a)×b=a×(𝝀b)=𝝀(a×b)
𝝀为实数，说明标量可以自由地与向量积中的某个向量结合进行运算。
○ 两个非零向量平行的判定：
两个非零向量 a ⃗ 和 b ⃗ 平行（夹角为 0 ，或者𝜋），当且仅当 a ⃗ × b ⃗ = 0 ⃗ ， 两个非零向量\vec{a}和\vec{b}平行（夹角为0，或者𝜋），当且仅当\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}， 两个非零向量a和b平行（夹角为0，或者𝜋），当且仅当a×b=0，
这为判断空间中两向量是否平行提供了一种向量积的方法。
课后练习
1、已知向量a={3, 2，-1}，b={1，-1, 2}，求：
（1）ab；（2）5a⋅3b；（3）ai, aj, ak
解 : ab ={3, 2，-1}{1，-1, 2}= 3-2-2 = -1
5a*3b = 15ab = -15
ai ={3, 2，-1}{1, 0, 0} =3
aj ={3, 2，-1}{0, 1, 0} =2
ak = {3, 2，-1}{0, 0, 1} =-1
2、设向量a={2，-3, 5}，b=（3, 1，-2)，求：
（1）ab；
ab=6-3-10=-7
（2）b 2；
b 2 = { 3 , 1 ， − 2 } 2 = 9 + 1 + 4 = 14 b^2 = \{3, 1，-2\}^2 = 9 + 1 +4 = 14 b2={3,1，−2}2=9+1+4=14
（3）（a+b）2；
（ a + b ) 2 = { 5 , − 2 , 3 } 2 = 25 + 4 + 9 = 38 （a+b)^2 = \{5,-2,3\}^2 = 25 +4 +9 =38 （a+b)2={5,−2,3}2=25+4+9=38
（4）（a+b）（a-b）；
= {5, -2, 3} {-1, -4, 7}
= -5+8 + 21
= 24
（5）（3a+b）（b-2a）
= ( {6, -9, 15}+{3,1,-2} ) * ( {3, 1，-2} - {4, -6, 10} )
= {9, -8, 13} {-1, 7, -12}
= -9 -56 - 156
= -221
3、设向量a≠0且ab=ac，问：是否有b=c？为什么？
解：
4、已知向量a={1, 1，-4}，b={2，-2,1}，求：
（1）ab；（2）|a|，|b|；（3）a与b的夹角θ。
解：
（1）
ab=2-2-4=-4
(2)
∣ a ∣ = 1 + 1 + 16 = 3 2 |a| = \sqrt{1+1+16} = 3\sqrt2 ∣a∣=1+1+16=32
∣ b ∣ = 4 + 4 + 1 = 3 |b| = \sqrt{4+4+1} = 3 ∣b∣=4+4+1=3
(3)
c o s 𝜃 = a b ∣ a ∣ ∣ b ∣ = − 4 3 2 ∗ 3 = − 2 2 9 cos𝜃= \frac {ab}{|a||b|} = \frac{-4}{3\sqrt 2*3} = -\frac{2\sqrt2}9 cos𝜃=∣a∣∣b∣ab=32∗3−4=−922
𝜃 = a r c c o s （ − 2 2 9 ） 𝜃 = arccos（-\frac{2\sqrt2}9 ） 𝜃=arccos（−922）
5、证明向量a={3,2，-1}与b={2，-3,0}相互垂直。
证：
由数量积的概念得知向量a与𝛽垂直的充要条件是a𝛽 = 0
计算 ab = 6 - 6 + 0 = 0
ab =0 , 所以向量a与b相互垂直
6、已知三角形的顶点为A（-1, 2, 3），B（1, 1, 1），C（0, 0, 5），证明此三角形是直角三角形，并求角B。
方法一 ：
证：要是直角三角形，它们三点之间的夹角必有一个是直角
求各边在空间中的坐标为 AB ={2, -1, -2} , BC ={-1, -1, 4} , AC={1, -2, 2}
求各边向量数量积：
B A ⋅ B C = 9 BA \cdot BC = 9 BA⋅BC=9
A B ⋅ A C = 2 + 2 − 4 = 0 AB \cdot AC = 2 +2 -4 =0 AB⋅AC=2+2−4=0
因求得 A B ⋅ A C = 0 AB \cdot AC =0 AB⋅AC=0 那么由定理知AB与AC边必然相互垂直，所以此角形是直角角形
c o s B = B A ⋅ B C ∣ B A ∣ ∣ B C ∣ = 2 2 cosB = \frac {BA\cdot BC}{|BA||BC|} = \frac {\sqrt2}2 cosB=∣BA∣∣BC∣BA⋅BC=22
得B 为 45 0 45^0 450
方法二：
勾股定理也可解此三角形是直角三角形：
7、计算下列向量所对应的向量积a×b：
（1）a={1,1,1}，b={3，-2, 1}；（2）a={0,1，-1}，b={1，-1,0}。
解：
（1）axb = ∣ i j k 1 1 1 3 − 2 1 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \\ \end{array}\right| i13j1−2k11
= ∣ 1 1 − 2 1 ∣ i − ∣ 1 1 3 1 ∣ j + ∣ 1 1 3 − 2 ∣ k \left|\begin{array} {}1 & 1 \\ -2 & 1 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}1 & 1 \\ 3 & -2 \\ \end{array}\right| k 1−211 i− 1311 j+ 131−2 k
= 3 i + 2 j − 5 k 3i + 2j -5k 3i+2j−5k
={3, 2, -5}
(2) axb = ∣ i j k 0 1 − 1 1 − 1 0 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ \end{array}\right| i01j1−1k−10
= ∣ 1 − 1 − 1 0 ∣ i − ∣ 0 − 1 1 0 ∣ j + ∣ 0 1 1 − 1 ∣ k \left|\begin{array} {}1 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right| k 1−1−10 i− 01−10 j+ 011−1 k
= − i + j − k -i + j -k −i+j−k
={-1, 1, -1}
8、已知向量a={3,2，-1}，b={1，-1,2}，求：
（1）a×b；（2）2a×7b；（3）7b×2a.
解：
（1）axb = ∣ i j k 3 2 − 1 1 − 1 2 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array}\right| i31j2−1k−12
= ∣ 2 − 1 − 1 2 ∣ i − ∣ 3 − 1 1 2 ∣ j + ∣ 3 2 1 − 1 ∣ k \left|\begin{array} {}2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}3 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}3 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right| k 2−1−12 i− 31−12 j+ 312−1 k
= 3 i − 7 j − 5 k 3i -7j -5k 3i−7j−5k
={3, -7, -5}
(2)2ax7b = 14 ∣ i j k 3 2 − 1 1 − 1 2 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array}\right| i31j2−1k−12
= 14 ( ∣ 2 − 1 − 1 2 ∣ i − ∣ 3 − 1 1 2 ∣ j + ∣ 3 2 1 − 1 ∣ k ) (\left|\begin{array} {}2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}3 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}3 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right| k) ( 2−1−12 i− 31−12 j+ 312−1 k)
= { 3 i − 7 j − 5 k } \{3i -7j -5k\} {3i−7j−5k}x 14
={42, -98, -70}
(3) 7b x 2a = 14bxa = -14 x axb = {-42, 98, 70}
9、设向量a≠0且a x b = a x c，问：是否有b=c？为什么？
10、已知向量a={2，-3,1}，b={1, -1,3}，c={1，-2,0}，计算：
（1）（a⋅b）c -（a⋅c）b；（2）（a+b）×（b+c）；（3）（a×b）⋅ c
解：
陷阱： 注意点积交换律是用于交换两个向量做点积运算的顺序
a⋅b得到的是一个数是标量，标量与向量c相乘结果是一个新的向量。
（1）
（a⋅b）c -（a⋅c）b
= {8，-16，0} - {8， -8， 24}
={0， -8， -24}
（2）a={2，-3,1}，b={1, -1,3} c={1，-2,0}
（a+b）×（b+c）
={3，-4，4} x {2,-3,3}
= ∣ i j k 3 − 4 4 2 − 3 3 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 3 & -4 & 4 \\ 2 & -3 & 3 \\ \end{array}\right| i32j−4−3k43
= ∣ − 4 4 − 3 3 ∣ i − ∣ 3 4 2 3 ∣ j + ∣ 3 − 4 2 − 3 ∣ k \left|\begin{array} {}-4 &4 \\ -3 & 3 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}3 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}3 & -4 \\ 2 & -3 \\ \end{array}\right| k −4−343 i− 3243 j+ 32−4−3 k
= 0 i − 1 j − 1 k 0i - 1j - 1k 0i−1j−1k
= {0, -1, -1}
(3)
a={2，-3, 1}，b={1, -1,3} c={1，-2,0}
（a×b）⋅ c
= ∣ i j k 2 − 3 1 1 − 1 3 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ \end{array}\right| i21j−3−1k13 ⋅ c
= ( ∣ − 3 1 − 1 3 ∣ i − ∣ 2 1 1 3 ∣ j + ∣ 2 − 3 1 − 1 ∣ k ) ⋅ c (\left|\begin{array} {}-3 &1 \\ -1 & 3 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}2 & -3 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right| k ) ⋅ c ( −3−113 i− 2113 j+ 21−3−1 k)⋅c
= { − 8 i − 5 j + k } ⋅ c \{-8i-5j+k\} ⋅ c {−8i−5j+k}⋅c
= {-8, -5, 1}{1, -2, 0}
= 2
11、求同时垂直于向量a={2,1,1}和b={4,5,3}的单位向量。
解：
先求它们的向量积
a x b = ∣ i j k 2 1 1 4 5 3 ∣ \left|\begin{array} {}i & j & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 3 \\ \end{array}\right| i24j15k13
= ∣ 1 1 5 3 ∣ i − ∣ 2 1 4 3 ∣ j + ∣ 2 1 4 5 ∣ k =\left|\begin{array} {}1 & 1 \\ 5 & 3 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}2 & 1 \\ 4 & 5 \\ \end{array}\right| k = 1513 i− 2413 j+ 2415 k
= -2i -2j + 6k
= {-2, -2, 6}
然后求axb的模
|axb| = 2 2 + 2 2 + 6 2 = 2 11 \sqrt {{2^2}+2^2 + 6^2} = 2\sqrt {11} 22+22+62=211
最后求与垂直于它们的单位向量 n ⃗ \vec{n} n
n ⃗ = a ⃗ × b ⃗ ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = { − 2 , − 2 , 6 } 2 11 = { − 11 11 , − 11 11 , 3 11 11 } \vec{n} = \frac {\vec{a}\times\vec{b}} {|\vec{a}\times\vec{b}|} = \frac {\{-2,-2,6\}} {2\sqrt{11}} =\{- \frac{\sqrt{11}}{11},- \frac{\sqrt{11}}{11},\frac{3\sqrt{11}}{11}\} n=∣a×b∣a×b=211{−2,−2,6}={−1111,−1111,11311}
12、已知向量 O A → = { 1 , 0 , 3 } , O B → = { 0 , 1 , 3 } \overrightarrow{OA} = \{1, 0, 3\}, \overrightarrow{OB} = \{0, 1, 3\} OA={1,0,3},OB={0,1,3}, 求△ABO的面积
解： △ABO的面积S是向量OA与OB所确定的平行四边形面积的一半
O A → × O B → \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} OA×OB
= 1 2 ∣ i j k 1 0 3 0 1 3 ∣ =\frac12\left|\begin{array} {}i & j & k \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{array}\right| =21 i10j01k33
= ∣ 0 3 1 3 ∣ i − ∣ 1 3 0 3 ∣ j + ∣ 1 0 0 1 ∣ k =\left|\begin{array} {}0 & 3 \\ 1 & 3 \\ \end{array}\right| i - \left|\begin{array} {}1 & 3 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right| j + \left|\begin{array} {}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right| k = 0133 i− 1033 j+ 1001 k
= − 3 i − 3 j + 1 k = -3i-3j+1k =−3i−3j+1k
= { − 3 , − 3 , 1 } = \{-3, -3, 1\} ={−3,−3,1}
S = 1 2 ∣ O A → × O B → ∣ S = \frac12|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| S=21∣OA×OB∣
= 1 2 ( − 3 ) 2 + ( − 3 ) 2 + 1 =\frac12\sqrt{(-3)^2+(-3)^2 + 1} =21(−3)2+(−3)2+1
= 19 2 = \frac{\sqrt{19}}2 =219
