【高数上册笔记01】：从集合映射到区间函数

【参考资料】

1. 同济大学《高等数学》教材
2. 樊顺厚老师B站《高等数学精讲》系列课程 （注：本笔记为个人数学复习资料，旨在通过系统化整理替代厚重教材，便于随时查阅与巩固知识要点）

仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。

一、集合

集合（set）是由确定的、互异的、无序的对象（称为元素）组成的整体。若 $x\in A$ 表示 $x$ 是集合 $A$ 的元素，$x\notin A$ 表示 $x$ 不是集合 $A$ 的元素。

列举法：将集合的所有元素一一列出。 如： { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}

描述法：通过元素的共同属性描述集合。 如： { x ∈ R ∣ x > 0 } \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} {x∈R∣x>0}

1.1 集合的性质

• 确定性：集合中的元素必须是明确的。
• 互异性：集合中的元素互不相同。
• 无序性：集合中的元素没有顺序之分。

1.2 常见数集

• 自然数集： N = { 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,…}
• 正整数集： N + = { 1 , 2 , 3 , … } \mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\dots\} N+={1,2,3,…}
• 整数集： Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
• 有理数集：$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\mid p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{Z}}^{+}\right\}$
• 实数集：$\mathbb{R}$

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1.3 集合的运算

基本运算

• 并集： A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或  x ∈ B } A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}
• 交集： A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且  x ∈ B } A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}
• 差集： A ∖ B = { x ∣ x ∈ A 且  x ∉ B } A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} A∖B={x∣x∈A 且 x∈/B}
• 补集：设全集为 $U$，则 $A$ 的补集为 ${\complement }_{U}A=U\setminus A$
• 笛卡尔积：$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$

运算律

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$，$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

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二、映射

2.1 映射基本概念

设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，若存在一个法则 $f$，使得对 $X$ 中的每个元素 $x$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作：
$$f:X\to Y$$
其中，$y=f(x)$ 称为 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 称为 $y$ 的原像。

映射的三要素

1. 定义域：$D_f=X$
2. 对应法则：$f$
3. 值域： R f = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } ⊂ Y R_f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X \} \subset Y Rf​=f(X)={f(x)∣x∈X}⊂Y

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2.2 映射分类

1. 满射（Surjective）
   若映射的值域等于目标集 $Y$，即 $R_f=Y$，则称 $f$ 为满射。 定义：对任意 $y\in Y$，存在 $x\in X$，使得 $f(x)=y$。

2. 单射（Injective）
   若 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1\ne x_2$ 的像也不同，即 $f(x_1)\ne f(x_2)$，则称 $f$ 为单射。

3. 双射（Bijective）
   若映射 $f$ 既是单射又是满射，则称其为双射（一一映射）。
   性质：双射存在唯一的逆映射 $f^{-1}:Y\to X$。

$$\text{满射：}f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ),f(x)=x^2$$
$$\text{双射：}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+3$$
$$\text{单射：}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=e^x$$

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2.3 映射的性质与应用

1. 逆映射
   设 $f:X\to Y$ 是单射，则存在逆映射 $f^{-1}:R_f\to X$，满足：
   $$f^{-1}(y)=x\text{当且仅当}f(x)=y$$
   注意：只有单射才能定义逆映射！

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2. 复合映射
   设 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是两个映射，若 $R_f\subset D_g$，则可定义复合映射 $h:X\to Z$，记作 $h=g\circ f$，满足：
   $$h(x)=g(f(x))\text{对所有}x\in X$$

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3. 映射的等价性
   映射 $f:X\to Y$ 是双射，当且仅当存在映射 $g:Y\to X$，使得 $f\circ g={\text{id}}_Y$ 且 $g\circ f={\text{id}}_X$，其中 ${\text{id}}_X$ 是 $X$ 上的恒等映射。

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2.4 狄利克雷和符号

2.4.1 狄利克雷函数

定义：
$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$
性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域： { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}
• 无最小正周期（任何正有理数都是其周期）。

2.4.2 符号函数

定义：
$$\text{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$$
性质：

• 分段函数，值域为 { − 1 , 0 , 1 } \{-1,0,1\} {−1,0,1}
• 满足 $x=\text{sgn}(x)\cdot |x|$

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三、区间和邻域

3.1 区间

定义：区间是实数集的一个子集，通常表示为两个端点之间的连续范围。

分类：

• 闭区间：包含端点 $a$ 和 $b$，记作 [ a , b ] = { x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\} [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}
• 开区间：不包含端点 $a$ 和 $b$，记作 ( a , b ) = { x ∈ R ∣ a < x < b } (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} (a,b)={x∈R∣a<x<b}
• 半开区间：包含一个端点，不包含另一个端点，记作 $[a,b)$ 或 $(a,b]$

区间的几何表示：

• 闭区间：线段两端点用实心点表示。
• 开区间：线段两端点用空心点表示。
• 半开区间：一端用实心点，另一端用空心点表示。

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3.2 邻域

点 $a$ 的 $\delta$ 邻域：设 $\delta >0$，则开区间 $(a-\delta ,a+\delta )$ 称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a,\delta )$。 中心：点 $a$ ，半径：$\delta$

去心邻域：若去掉邻域的中心 $a$，则称为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $U^{\circ }(a,\delta )$，即：
U ∘ ( a , δ ) = { x ∈ R ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } U^\circ(a, \delta) = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta\} U∘(a,δ)={x∈R∣0<∣x−a∣<δ}

左 $\delta$ 邻域：开区间 $(a-\delta ,a)$

右 $\delta$ 邻域：开区间 $(a,a+\delta )$

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四、函数

4.1 函数特性

1. 有界性
   定义：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有界，若存在常数 $M>0$，使得对所有 $x\in I$，有 $|f(x)|\le M$。
   无界性：若不存在这样的 $M$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界。

2. 单调性

   • 单调递增：若 $x_1<x_2$ 时，$f(x_1)\le f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。
   • 单调递减：若 $x_1<x_2$ 时，$f(x_1)\ge f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。
   • 严格单调性：将“$\le$”或“$\ge$”替换为“$<$”或“$>$”即可。

3. 奇偶性

   • 偶函数：若 $f(-x)=f(x)$，则 $f(x)$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。
   • 奇函数：若 $f(-x)=-f(x)$，则 $f(x)$ 是奇函数，图象关于原点对称。

4. 周期性：若存在正数 $T$，使得对所有 $x$，有 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$ 是周期函数，$T$ 为其周期。最小的正周期称为基本周期。

   • 正弦函数 $f(x)=\sin x$ 的基本周期为 $2\pi$。
   • 狄利克雷函数 $D(x)$ 的任何正有理数都是其周期（无最小正周期）。

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4.2 六个基本初等函数

1. 常数函数

   • $f(x)=C$（$C$ 为常数）
   • 图像为水平直线，有界且周期性（无最小正周期）。

2. 幂函数

   • $f(x)=x^{\alpha }$（$\alpha$ 为常数）
   • $\alpha >0$：图像经过点 $(1,1)$，在 $x>0$ 时单调递增。
   • $\alpha <0$：图像经过点 $(1,1)$，在 $x>0$ 时单调递减。

3. 指数函数

   • $f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$）
   • $a>1$：单调递增。
   • $0<a<1$：单调递减。

4. 对数函数

   • $f(x)={\log }_{a}x$（$a>0,a\ne 1$）
   • $a>1$：单调递增。
   • $0<a<1$：单调递减。

5. 三角函数

   • 包括 $\sin x,\cos x,\tan x$ 等。
   • 周期性：$\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期为 $2\pi$，$\tan x$ 的周期为 $\pi$。
   • 奇偶性：$\sin x$ 为奇函数，$\cos x$ 为偶函数。

6. 反三角函数

   • 包括 $\arcsin x,\arccos x,\arctan x$ 等。
   • $\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域分别为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 和 $[0,\pi ]$。
   • $\arctan x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。

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4.3 极值、最值、拐点

极值：通过导数判断函数的极大值或极小值。

最值：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。

拐点：函数图像凹凸性发生改变的点，通过二阶导数的符号变化确定。