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0 前言
1 为什么需要线性化？
2 分段函数线性化
3 乘积线性化
0 前言
之前分享过3篇关于线性化处理的文章，具体链接如下：
知识分享|分段函数线性化及matlab测试
学习园地 | yalmip实用操作-线性化
非线性优化 | 非线性问题matlab+yalmip求解案例
本次分享一个高阶的线性化处理技巧，让线性化不仅有助于程序调试运行，更能够成为文章的一大亮点，也能解决文章创新点不足的问题。
1 为什么需要线性化？
对于电力系统优化而言，智能算法和规划方法（包括线性规划、非线性规划等）是常用的优化方法，两类方法在应用上大不相同。
众所周知，智能算法能够直接处理非线性的问题，但是智能算法有个缺点，优化结果接近最优值，但是难以达到最优值，这成为我们学习研究中的一个障碍。
规划方法主要依靠各类求解器（gurobi/cplex/mosek等）寻优，能够寻得最优解，但是对模型的要求比较高，对于存在的非线性项，有些必须通过线性化处理才能求解，有些简单非线性问题可以直接求解，但是速度比较慢，线性化处理之后能够大幅提高运行求解效率。
2 分段函数线性化
前言部分第一个分享链接是分段函数线性化的通用模式，电力系统优化最常用的分段函数是关于布尔变量类，如线路跳闸变量受传输容量限制，具体模型如下：
如果用implies函数来实现这个约束可采用下述方式。
for j=1:46Constraints = [Constraints,implies(abs(Fs(j,s)) - flmax .* wls(j,s)>=0,els(j,s)==1)];Constraints = [Constraints,implies(abs(Fs(j,s)) - flmax .* wls(j,s)<=0,els(j,s)==0)];end
上述程序段中wls指的是线路联通状态，这样约束书写方式比较常规，直观且易于理解，但是implies函数求解较慢，以【重磅】计及连锁故障传播路径的电力系统 N-k故障场景筛选模型为例，整个模型运行时间为500多秒。
除上面求解方式之外，可以通过更加灵巧的线性化方式进行处理，模型处理如下：
上式中，M是个极大的数，
是个极小的值。
这是应用大M法进行线性化处理的示范，这种方式是对分段函数的等价转化，不用采用implies函数进行编程，程序实现如下：
Constraints = [Constraints, abs(Fs(:,s)) - flmax .* wls(:,s) <= M*els(:,s) ];Constraints = [Constraints, abs(Fs(:,s)) - flmax .* wls(:,s) >= M*(els(:,s)-1) + eps ];
线性化处理之后模型运行时间只需要80秒，求解速度大幅提升。
大家在模型分析的过程可以充分应用线性化处理技巧，将模型转化为方便求解的数学模型，从而极大提到程序调试运行效率。
3 乘积线性化
前言中第二个链接分析了01变量乘积线性化的处理方式，分析其中一个通用的模型转化方法如下：
上式中，对于另外一个非01变量需要先确定上下限才能精确的实现模型求解，在常用的电力系统优化中，可以容易确定变量的上下限值，但是在对偶模型中对于对偶变量的限值的确定往常还是比较含糊的，有些用一些比较大的数值作为上限值，但是，在深度的应用中可以采用克莱默法则来精确分析对偶变量的上限值。
第一步：将模型约束写成紧凑形式，如下：
A 是对偶变量的系数矩阵，x 为对偶变量构成的矩阵。
第二步：根据克莱默法则计算对偶变量x。
因为A 是一个整数矩阵，所以其行列式的绝对值大于等于 1，如下式所示：
联立上面两个公式，可得：
因为[A h]为全幺模矩阵，所以其行列式的绝对值小于等于 1，如下所示：
通过该式可求得模型对偶变量的上下限值，从而可以应用乘积线性化的公式进行约束精准表达。上述采用网络流模型求解对偶变量上下限的方法，参考《计及连锁故障传播路径的电力系统 N-k 多阶段双层优化及故障场景筛选模型》。
通过这种方式的处理既体现了线性化过程，又将文章的层次提高了一截，同学们可以重点参考一下。
