排序算法之归并排序

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title: 归并排序
date: 2024-7-19 15:03:06 +0800
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  description: 归并排序（Merge Sort）是一种基于分治法的有效排序算法。它将一个列表分成较小的子列表，对每个子列表进行排序，然后合并这些子列表以产生一个有序列表。
  math: true

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归并排序

归并排序（Merge Sort）是一种基于分治法（Divide and Conquer）的有效排序算法。它将一个列表分成较小的子列表，对每个子列表进行排序，然后合并这些子列表以产生一个有序列表。

采用分治法:分割：递归地把当前序列平均分割成两半。集成：在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起（归并）。

工作原理

1. 分割：将列表分成两个子列表。
2. 递归排序：对每个子列表递归地进行归并排序。
3. 合并：将两个有序的子列表合并成一个有序列表。

归并操作

归并操作（merge），也叫归并算法，指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。归并排序算法依赖归并操作。

递归法（Top-down）

1. 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
2. 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
4. 重复步骤3直到某一指针到达序列尾
5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

迭代法（Bottom-up）

原理如下（假设序列共有$n$个元素）：

1. 将序列每相邻两个数字进行归并操作，形成$ceil(n/2)$个序列，排序后每个序列包含两/一个元素
2. 若此时序列数不是1个则将上述序列再次归并，形成$ceil(n/4)$个序列，每个序列包含四/三个元素
3. 重复步骤2，直到所有元素排序完毕，即序列数为1

图示

示例

假设有一个待排序的列表：[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]

第一步：分割

• 将列表分割成两个子列表：[38, 27, 43] 和 [3, 9, 82, 10]

第二步：递归排序

• 继续将子列表分割，直到每个子列表只有一个元素。
• [38], [27], [43], [3], [9], [82], [10]

第三步：合并

• 将单个元素的子列表合并成有序子列表。
• [27, 38], [3, 43], [9, 82], [10]
• 继续合并，直到得到最终的有序列表。
• [3, 27, 38, 43], [9, 10, 82]
• [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n\log n)$、非自适应排序：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。

• 空间复杂度为 $O(n)$、非原地排序：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。

• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

时间复杂度

• 最坏情况时间复杂度：$O(n\log n)$
• 平均情况时间复杂度：$O(n\log n)$
• 最好情况时间复杂度：$O(n\log n)$

空间复杂度

• 空间复杂度：$O(n)$

代码实现

递归版与迭代版

递归版

1. 实现方式：

   • 递归版归并排序使用递归函数来实现分治算法。
   • 它将数组分成两半，分别对每一半进行排序，然后合并排序好的两半。

2. 优点：

   • 代码简洁、易于理解和实现。
   • 直接利用函数调用栈管理递归过程。

3. 缺点：

   • 递归调用会占用函数调用栈空间，对于大型数组可能会导致栈溢出。

迭代版

1. 实现方式：

   • 迭代版归并排序使用迭代方法来实现分治算法。
   • 它从较小的子数组开始逐步合并，直到整个数组有序。

2. 优点：

   • 不会出现栈溢出的问题。
   • 可以更好地控制内存使用。

3. 缺点：

   • 实现相对复杂，代码冗长。

递归版实现：

public class MergeSort {// 合并两个有序子数组 arr[l..m] 和 arr[m+1..r]public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {// 找到两个子数组的大小int n1 = m - l + 1;int n2 = r - m;// 创建临时数组int[] L = new int[n1];int[] R = new int[n2];// 复制数据到临时数组 L 和 Rfor (int i = 0; i < n1; ++i)L[i] = arr[l + i];for (int j = 0; j < n2; ++j)R[j] = arr[m + 1 + j];// 初始索引int i = 0, j = 0, k = l;// 合并临时数组 L 和 R 回到 arr[l..r]while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}// 复制 L 中剩余的元素（如果有）while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}// 复制 R 中剩余的元素（如果有）while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}}// 主函数，排序 arr[l..r]public static void sort(int[] arr, int l, int r) {if (l < r) {// 找到中点int m = l + (r - l) / 2;// 排序两边sort(arr, l, m);sort(arr, m + 1, r);// 合并两边merge(arr, l, m, r);}}public static void main(String[] args) {int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};System.out.println("Given Array");for (int i : arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();sort(arr, 0, arr.length - 1);System.out.println("\nSorted array");for (int i : arr) {System.out.print(i + " ");}}
}

迭代版实现：

public class MergeSortIterative {// 合并两个有序子数组 arr[l..m] 和 arr[m+1..r]public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {// 找到两个子数组的大小int n1 = m - l + 1;int n2 = r - m;// 创建临时数组来存储左右子数组int[] L = new int[n1];int[] R = new int[n2];// 复制数据到临时数组 L 和 Rfor (int i = 0; i < n1; ++i)L[i] = arr[l + i];for (int j = 0; j < n2; ++j)R[j] = arr[m + 1 + j];// 初始索引int i = 0, j = 0, k = l;// 合并临时数组 L 和 R 回到 arr[l..r]while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}// 复制 L 中剩余的元素（如果有）while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}// 复制 R 中剩余的元素（如果有）while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}}// 主函数，排序 arr[0..n-1] 使用迭代的归并排序public static void sort(int[] arr) {int n = arr.length;// 当前大小的子数组 curr_size，从 1 开始for (int curr_size = 1; curr_size < n; curr_size = 2 * curr_size) {// 选择左边子数组的起始点 left_start，逐步合并for (int left_start = 0; left_start < n - 1; left_start += 2 * curr_size) {// 找到中点和右边子数组的结束点int mid = Math.min(left_start + curr_size - 1, n - 1);int right_end = Math.min(left_start + 2 * curr_size - 1, n - 1);// 合并子数组 arr[left_start..mid] 和 arr[mid+1..right_end]merge(arr, left_start, mid, right_end);}}}public static void main(String[] args) {int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};System.out.println("Given Array");for (int i : arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();// 调用迭代版归并排序sort(arr);System.out.println("\nSorted array");for (int i : arr) {System.out.print(i + " ");}}
}