向量组的秩及利用秩判断线性方程组的解

向量组的秩及利用秩判断线性方程组解的情况

向量组的秩

• 定义

向量组内极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩.

• 意义

向量组的秩其实反映了向量组内部的线性相关关系.

• 实例

​ 例如由向量组
$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{l}1\\ 4\\ 7\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{l}2\\ 5\\ 8\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{l}3\\ 6\\ 9\end{array}\right)$$
​ 组成的矩阵 $A$
$$A=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$
​ 经过行变换后转换成行最简矩阵（非零行首元为1，首元所在列其他元素为0），可以清晰看出向量组内部的线性相关关系
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

每个非零行首元为 $1$ 所在列位置在 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ ， ${\mathbf{v}}_3$ 元素值为 $-1,2,0$

而 ${\mathbf{v}}_3$ 可以用 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 线性表示，即
$${\mathbf{v}}_3=(-1)\cdot {\mathbf{v}}_1+2\cdot {\mathbf{v}}_2$$
故矩阵 $A$ 对应向量组的极大线性无关组内向量数量为$2$.

即该向量组秩 $r(A)=2$ .

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用向量组的秩判断线性方程组是否有解

齐次线性方程组

对于具有 $n$ 个未知数的齐次线性方程组
$$A\mathbf{x}=0$$

1. $r(A)=n$ 时，方程组有唯一的零解。向量之间均线性无关。
2. $r(A)<n$ 时，方程组有无穷多非零解，且有 $n-r$ 个线性无关的解，任何一个解都可以用这 $n-r$​ 个线性无关的解表示。

非齐次线性方程组

对于具有 $n$ 个未知数的非齐次线性方程组
$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

1. $r(A)+1=r(A,\mathbf{b})$ 时，也即 $r(A)<r(A,\mathbf{b})$ 时，方程组无解。
2. $r(A)=r(A,\mathbf{b})$ 时，方程组有解。$\mathbf{b}$ 可由 $A$ 的列向量线性表示。
3. $r(A)=r(A,\mathbf{b})=n$ 时，方程组有唯一解。
4. $r(A)=r(A,\mathbf{b})<n$ 时，方程组有无穷多解。