快速幂【模板】

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题目描述

输入a,b,p, 求ab mod pa^b\space mod \space pab mod p.

输入描述:

第一行一个整数T , 表示T组测试用例。

接下来T行，每行3个整数a, b, p.

1≤T≤1041 \le T \le 10^41≤T≤104

1≤a,b≤1018,2≤p≤2∗109,p是素数。1 \le a, b \le 10^{18}, 2 \le p \le 2*10^9, p是素数。1≤a,b≤1018,2≤p≤2∗109,p是素数。

输出描述:

输出T行，每行表示一组测试用例的答案。

输入：

1
3 4 5

输出：

1

解释：

3^4=81 
81%5=1

答案：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
LL qmi(LL a, LL k, LL p){a = a % p;LL res = 1;while (k){if (k & 1) res = res * a % p;k >>= 1;a = a * a % p;}return res;
}int main(){scanf("%d", &n);while (n -- ){LL a, k, p;scanf("%lld%lld%lld", &a, &k, &p);printf("%lld\n", qmi(a, k, p));}return 0;
}

 

快速幂算法（Fast Power Algorithm）是一种用于快速计算 abmodm（其中 a,b,m 是整数，b 可能非常大）的高效算法。其时间复杂度为 O(logb)，相较于直接计算 a 自乘 b 次的方法（时间复杂度 O(b)）有显著的性能提升。

以下是快速幂算法的一个典型C语言实现：

	#include <stdio.h>
	// 快速幂算法实现，计算 (base^exponent) % mod
	long long fastPower(long long base, long long exponent, long long mod) {
	long long result = 1; // 初始化结果为1
	while (exponent > 0) {
	// 如果当前指数为奇数，则将当前底数乘到结果上
	if (exponent % 2 == 1) {
	result = (result * base) % mod;
	}
	// 底数自乘，并将指数除以2
	base = (base * base) % mod;
	// 指数除以2
	exponent /= 2;
	}
	return result;
	}
	int main() {
	long long base, exponent, mod;
	printf("请输入基数 (base), 指数 (exponent) 和模数 (mod): ");
	scanf("%lld %lld %lld", &base, &exponent, &mod);
	printf("%lld^%lld %% %lld = %lld\n", base, exponent, mod, fastPower(base, exponent, mod));
	return 0;
	}

算法解析

1. 初始化：将结果初始化为1（因为任何数的0次方都是1），并将当前底数设为给定的基数。
2. 循环处理：当指数大于0时，循环继续。
   • 如果当前指数为奇数，则将当前底数乘到结果上（注意取模，防止溢出）。
   • 无论指数是奇数还是偶数，都将底数自乘（并取模），同时将指数除以2（这相当于将问题规模减半）。
3. 结束：当指数减至0时，循环结束，此时的结果即为所求。

注意

• 在每一步中取模是非常关键的，它确保了整个计算过程中数值不会溢出，同时保证最终结果满足模运算的性质。
• 快速幂算法同样适用于计算 ab（不取模）的情况，但通常我们更关注其在模运算中的应用，因为它能够处理大数运算中的溢出问题。