常用函数导数表达式和常用级数展开表达式

常用函数的导数表达式如下：

1. 常数函数$f(x)=c$：
   $$f^{\prime }(x)=0$$

2. 幂函数$f(x)=x^n$（其中$n$为常数）：
   $$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}$$

3. 指数函数$f(x)=e^x$：
   $$f^{\prime }(x)=e^x$$

4. 对数函数$f(x)=\ln (x)$：
   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$$

5. 正弦函数$f(x)=\sin (x)$：
   $$f^{\prime }(x)=\cos (x)$$

6. 余弦函数$f(x)=\cos (x)$：
   $$f^{\prime }(x)=-\sin (x)$$

7. 正切函数$f(x)=\tan (x)$：
   $$f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$$

8. 反正弦函数$f(x)=\arcsin (x)$：
   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

9. 反余弦函数$f(x)=\arccos (x)$：
   $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

10. 反正切函数$f(x)=\arctan (x)$：
    $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

11. 指数函数（基数为$a$）$f(x)=a^x$（其中$a>0$且$a\ne 1$）：
    $$f^{\prime }(x)=a^x\ln (a)$$

12. 自然对数的幂函数$f(x)=x^x$：
    该函数的导数使用隐函数求导法得出：
    $$f^{\prime }(x)=x^x\left(\ln (x)+1\right)$$

自然对数的幂函数导数证明

要计算$f(x)=x^x$的导数，我们可以使用隐函数求导法。下面是详细的推导过程：

1. 定义原函数
   我们有：
   $$f(x)=x^x$$

2. 取对数
   为了简化幂的处理，先对两边取自然对数：
   $$\ln (f(x))=\ln (x^x)$$
   根据对数的幂性质$\ln (a^b)=b\ln (a)$，右边可以改写为：
   $$\ln (f(x))=x\ln (x)$$

3. 引入隐函数
   令$y=f(x)=x^x$，因此：
   $$\ln (y)=x\ln (x)$$

4. 对两边求导
   对等式两边关于$x$求导。
   左边，利用链式法则，对$\ln (y)$求导得到：
   $$\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}$$

   右边，应用乘积法则对$x\ln (x)$求导：
   $$\frac{d}{dx}(x\ln (x))=\frac{d}{dx}(x)\cdot \ln (x)+x\cdot \frac{d}{dx}(\ln (x))$$
   其中，$\frac{d}{dx}(x)=1$和$\frac{d}{dx}(\ln (x))=\frac{1}{x}$，所以右边的导数是：
   $$\ln (x)+1$$

   于是我们得到：
   $$\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=\ln (x)+1$$

5. 解出$\frac{dy}{dx}$
   现在把$y$移到等式的右边：
   $$\frac{dy}{dx}=y(\ln (x)+1)$$

6. 替换回$y=x^x$
   因为$y=x^x$，所以可以写为：
   $$\frac{dy}{dx}=x^x(\ln (x)+1)$$

7. 结果
   因此，$f(x)=x^x$的导数为：
   $$f^{\prime }(x)=x^x(\ln (x)+1)$$

总结一下，最终的导数是：
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln (x)+1)$$

这个导数公式表示$x^x$的变化率，可以用于进一步的计算或分析。

这些导数是数学分析和微积分中常用的基础公式，可以用来求解更复杂函数的导数。

常用的级数表达式如下：

1. 几何级数：
   对于$|x|<1$：
   $$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$$

2. 指数函数的泰勒级数：
   $$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

3. 正弦函数的泰勒级数：
   $$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

4. 余弦函数的泰勒级数：
   $$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

5. 自然对数的泰勒级数：
   对于$|x|<1$：
   $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

6. 反正切函数的泰勒级数：
   对于$|x|\le 1$：
   $$\arctan (x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

7. 双曲正弦函数的泰勒级数：
   $$\sinh (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

8. 双曲余弦函数的泰勒级数：
   $$\cosh (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

9. 二项式级数：
   对于$|x|<1$和任意实数$\alpha$：
   $$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+\cdots$$
   其中，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n}\right)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$。

这些级数在函数展开、数值计算和逼近分析中具有广泛应用。

MATLAB实现

在 MATLAB 中，我们可以使用符号工具箱来求取导数和展开级数。以下是常用的导数和级数计算的示例代码：

1. 求导数

MATLAB 中可以使用 diff() 函数来求取函数的导数。

syms x  % 定义符号变量% 求幂函数的导数，例如 f(x) = x^3
f = x^3;
f_prime = diff(f, x);  % 对 f(x) 求导
disp(f_prime);% 求指数函数的导数，例如 f(x) = exp(x)
f = exp(x);
f_prime = diff(f, x);
disp(f_prime);% 求对数函数的导数，例如 f(x) = log(x)
f = log(x);
f_prime = diff(f, x);
disp(f_prime);% 求正弦函数的导数，例如 f(x) = sin(x)
f = sin(x);
f_prime = diff(f, x);
disp(f_prime);

2. 泰勒级数展开

MATLAB 使用 taylor() 函数来计算函数的泰勒级数展开。

syms x  % 定义符号变量% 指数函数的泰勒级数展开，例如 f(x) = exp(x) 在 x = 0 处展开
f = exp(x);
taylor_expansion = taylor(f, x, 'Order', 6);  % 展开到 x^5 项
disp(taylor_expansion);% 正弦函数的泰勒级数展开，例如 f(x) = sin(x) 在 x = 0 处展开
f = sin(x);
taylor_expansion = taylor(f, x, 'Order', 6);
disp(taylor_expansion);% 余弦函数的泰勒级数展开，例如 f(x) = cos(x) 在 x = 0 处展开
f = cos(x);
taylor_expansion = taylor(f, x, 'Order', 6);
disp(taylor_expansion);% 对数函数的泰勒级数展开，例如 f(x) = log(1 + x) 在 x = 0 处展开
f = log(1 + x);
taylor_expansion = taylor(f, x, 'Order', 6);
disp(taylor_expansion);

3. 二项式级数展开

在 MATLAB 中可以直接对二项式函数使用 taylor() 函数，或使用 symsum() 对二项式公式展开。

syms x alpha  % 定义符号变量% 二项式 (1 + x)^alpha 的泰勒展开
f = (1 + x)^alpha;
taylor_expansion = taylor(f, x, 'Order', 6);
disp(taylor_expansion);

4. 计算自定义的函数级数展开

如果需要对一些自定义函数求其级数，可以使用 symsum()。

syms x n  % 定义符号变量% 例如，几何级数的求和 ∑ x^n，从 n=0 到 ∞
f = x^n;
S = symsum(f, n, 0, Inf);  % 求和
disp(S);  % 输出级数的结果（当 |x| < 1 时收敛）

运行说明

• syms：定义符号变量。
• diff()：计算导数。
• taylor()：进行泰勒级数展开。
• symsum()：进行符号求和。

这些代码段可以帮助你快速求取常见函数的导数和展开级数，并展示出公式的形式。