出处不详 摆放石子

摆放石子

题目描述

背景

有$n$个盒子，第$i$个盒子最多放$a_i$个石子，当前盒子里的石子数为$b_i$。两人轮流往盒子里放石子，且每一次放的数量不能超过当前盒子内的石子数，当有一方放不下石子时游戏结束且该方输，问先手是否能获胜

输入

1. 第一行一个整数$T$，表示有$T$组数据；
2. 对于每组数据，第一行一个整数$n$；
3. 接下来$n$行，每行两个整数$a_i,b_i$

输出

对于每组数据，输出一行$Yes$或$No$，表示先手是否能获胜

数据范围

$1\le T\le 50,1\le n\le 50,0\le b_i\le a_i\le 32767$

题解

解法

可以看出，该题的规则描述的是一个有向图游戏的和，其中的每个有向图游戏$G_i$为：一个能容纳$a_i$个石子的盒子，已经被放入了$b_i$个石子后，两人轮流放石子，每次放的石子数不能超过已有的石子数，直到放不了石子的一方输
接下来需计算出所有$SG(G_i)$，定义一个函数$getSG(a,b)$用来求容量$a$、已放入$b$的游戏的$SG$函数值，函数中定义变量$t$表示满足$t+t<a$的最大整数，即$t=(a-1)>>1$

1. 当$b>t$时，若$b=a$，则$SG=0$，所以若$b=a-1$，则$SG=1$，依此类推，$SG=a-b$

2. 当$b=t$时，必输，所以$SG=0$

3. 当$b<t$时，设$t^{{}^{\prime }}=(t-1)>>1$

   • 若$b>t^{{}^{\prime }}$，则$2b\ge t$，当$b=t-1$时，$2b=2t-2$，所以 S G = m e x ( { g e t S G ( a , t ) , g e t S G ( a , t + 1 ) , ⋯ , g e t S G ( a , 2 t − 2 ) } ) = m e x ( { 0 , a − 2 t + 2 , ⋯ , a − t − 1 } ) = 1 SG = mex(\{ getSG(a , t) , getSG(a , t + 1) , \cdots , getSG(a , 2t - 2) \}) = mex(\{ 0 , a - 2t + 2 , \cdots , a - t - 1 \}) = 1 SG=mex({getSG(a,t),getSG(a,t+1),⋯,getSG(a,2t−2)})=mex({0,a−2t+2,⋯,a−t−1})=1，当$b=t-2$时，同理可得 S G = m e x ( { g e t S G ( a , t − 1 ) , g e t S G ( a , t ) , ⋯ , g e t S G ( a , 2 t − 4 ) } ) = m e x ( { 1 , 0 , a − 2 t + 4 , ⋯ , a − t − 1 } ) = 2 SG = mex(\{ getSG(a , t - 1) , getSG(a , t) , \cdots , getSG(a , 2t - 4) \}) = mex(\{ 1 , 0 , a - 2t + 4 , \cdots , a - t - 1 \}) = 2 SG=mex({getSG(a,t−1),getSG(a,t),⋯,getSG(a,2t−4)})=mex({1,0,a−2t+4,⋯,a−t−1})=2，依此类推，$SG=t-b$
   • 若$b=t^{{}^{\prime }}$， S G = m e x ( { g e t S G ( a , t ′ + 1 ) , ⋯ , g e t S G ( a , 2 t ′ ) } ) = m e x ( { t − t ′ − 1 , ⋯ , t − 2 t ′ } ) = 0 SG = mex(\{ getSG(a , t^{'} + 1) , \cdots , getSG(a , 2t^{'}) \}) = mex(\{ t - t^{'} - 1 , \cdots , t - 2t^{'} \}) = 0 SG=mex({getSG(a,t′+1),⋯,getSG(a,2t′)})=mex({t−t′−1,⋯,t−2t′})=0
   • 若$b<t^{{}^{\prime }}$，则$2b<t$，所以只有可能用到$getSG(a,c)(c\le 2t^{{}^{\prime }}-2<t)$，又由前两类得“若$t^{{}^{\prime }}\le b<t$，则$getSG(a,b)=getSG(t,b)$”，所以此时可以将$a$换成$t$，求$getSG(t,b)(b<t^{{}^{\prime }})$即可

   综上，$SG=getSG(t,b)$

所以当$b\ge t$时可以直接得到$SG$，反之则需将$a$换成$t$代入递归求解
代码如下：

#include<cstdio>#define il inlineil int read() {int x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') c = getchar();while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();return x;
}il int getSG(int a, int b) {int t = (a - 1) >> 1; if(b > t) return a - b;if(b == t) return 0;return getSG(t, b);
}int main() {int t = read();while(t--) {int ans = 0, n = read();while(n--) {int a = read(), b = read();if(a && b && a != b) ans ^= getSG(a, b);}ans ? puts("Yes") : puts("No");}return 0;
}

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