GF(2)域m次不可约及本原多项式的数量

0. 前言

在密码学、纠错码理论、数字信号处理等领域，有限域GF(2)上的多项式理论是核心基础之一。其中，不可约多项式与本原多项式的计数问题不仅具有重要的理论意义，更是工程实践中构造有限域结构、设计线性反馈移位寄存器（LFSR）、生成伪随机序列等关键技术的前提。例如，不可约多项式用于定义有限域的运算规则，而本原多项式则是生成最大周期序列（\(m\)序列）的核心要素。

目前，尽管数学理论中已有成熟的计数公式（如基于莫比乌斯函数的不可约多项式计数公式、基于欧拉函数的本原多项式计数公式），但在工程应用中，针对具体次数\(m\)的快速计算及数据查询仍存在需求。尤其当\(m\)较大时，手工计算复杂度极高，现编制计算机程序受制于工程师技能树和需求的性价比。因此，依赖高效的工具或预先整理的数据表格成为必要。

本文聚焦GF(2)域上\(m\)次不可约及本原多项式的数量计算，系统梳理计数公式的数学定义与应用示例，结合 Wolfram 在线工具提供大数计算方法，并通过表格形式呈现\(m \leqslant 48\)的详细数据。

本文旨在为从事通信系统设计、密码算法实现、集成电路开发等领域的工程技术人员提供简明、实用的参考资料，兼顾理论严谨性与工程可操作性，避免复杂数学推导，侧重公式应用、工具使用及数据呈现。

（注：文中公式较多，可能显示不全，当您读着不顺畅时，不妨刷新试试！）

1. 不可约多项式的数量计算

依定义，不可约多项式（Irreducible Polynomial）指的是：除了1和它本身外，不包含其它因式的多项式。GF(2)域\(m\)次不可约多项式的数量可通过下式计算：

\[N(m)=\frac{1}{m} \sum_{d|m} \left [ \mu (d) \cdot 2^{m/d} \right ]\]

其中：

• \( d|m \)表示\(d\)是\(m\)的所有正因数（包括1和\(m\)）；
• \( \mu(d) \)是莫比乌斯函数（Möbius function），定义为：
• 若\( d=1 \)，则\( \mu(1)=1 \)；
• 若\(d\)包含次数大于1的因子，则\( \mu(d)=0 \)。例如\( \mu(12) = \mu(2^2 \times 3)=0 \)；
• 若\(d\)是\(k\)个不同素（质）数的乘积，则\( \mu(d) = (-1)^k \)。例如\( \mu(6) = \mu(2 \times 3) = (-1)^2 = 1 \)，\( \mu(30) = \mu(2 \times 3 \times 5) = (-1)^3 = -1 \)。

\( m = 4 \)，不可约多项式数量的计算示例：

• 找出\(m\)所有的正因数：4的因数为\( d=1,2,4 \)；
• 计算每个因数对应的莫比乌斯函数值：\( \mu(1)=1 \)，\( \mu(2) = -1 \)，\( \mu(4) = 0 \)；
• 代入公式计算：

\[\begin{aligned} 
N(4) &= \frac{1}{4} \left [ \mu (1) \cdot 2^4 + \mu (2) \cdot 2^2 + \mu (4) \cdot 2^1 \right ] \\
        &= \frac{1}{4} \left [ 16 - 4 + 0 \right ] \\
        &= 3
\end{aligned}\]

\(m\)的值较大时，通常需编制计算机程序来计算，也有众多的编程算法，本文不讨论。本文基于Wolfram在线工具，在输入框填入：k = DivisorSum[128, 2^(128/#) MoebiusMu[#] &]/128。其中128为待计算的多项式次数\(m\)。计算结果如下图：

可以看到，GF(2)域共有2658455991569831745663498932484833280个128次不可约多项式。

2. 本原多项式的数量计算

依定义，GF(2)域\(m\)次本原多项式（Primitive Polynomial）是不可约多项式，同时它的周期\(e\)满足\(e=2^m-1\)的关系，多项式不可约是本原多项式的必要条件，但不是充分条件。因此，\(m\)次本原多项式的数量小于等于同次数的不可约多项式数量。

\(m\)次本原多项式的数量可通过下式计算：

\[P(m)=\frac{ \phi (2^m - 1) }{m}\]

其中：

• \( \phi (n) \)是欧拉函数（Euler’s totient function），表示小于等于\(n\)且与\(n\)互素（质）的正整数个数。
• \(n\)是正整数。\( \phi (1) = 1 \)。1不是素（质）数，但与所有大于0的整数互素（质）。
• 当\(m\)是素（质）数时，\( \phi (n) = n - 1 \)。

例如，\( m = 4, n = 2^m - 1 = 15 = 3 \times 5 \)，小于等于15的正整数为1 ~ 15，共15个，其中3,6,9,12,5,10,15与15不互素，可得\( \phi (15) = 15-7 = 8 \)，从而可计算出4次本原多项式的数量为\( 2 (= 8/4) \)。

\(n (=2^m-1) \)的值较大时，通常需编制计算机程序来计算欧拉函数值，也有众多的编程算法，本文不讨论。本文将基于在线工具完成欧拉函数计算，常见工具通常会限制欧拉函数输入值的范围（例如1000000），而Wolfram无此限制，且可实现多步计算，例如，在Wolfram工具输入框填入：m = 128, n = 2^m - 1, p = EulerPhi[n], k = p/m。其中，m为本原多项式的次数，EulerPhi[n]为Wolfram的欧拉函数，\(k\)为待计算的\(m\)次本原多项式数量。计算结果如下图：

可以看到，GF(2)域共有1327149278901642923121482163604684800个128次本原多项式。

3. 1 ~ 48次不可约及本原多项式数量列表

当我们需要确定GF(2)域的\(m\)次多项式中，有多少个不可约或本原多项式时，可通过前文的方法，利用Wolfram工具直接计算结果。本文采用本方法计算了\(m \leqslant 48\)的全部结果，列于下表，其中：

• \(m\)列对应数字为多项式次数；
• n_Irre列表示\(m\)次的不可约多项式数量；
• n_Prim列表示\(m\)次的本原多项式数量；
• 数字红色加粗表示\(m\)的取值满足\( (2^m - 1) \)是素数（即梅森素数），则该\(m\)次不可约多项式都是本原多项式。

m	n_Irre	n_Prim	m	n_Irre	n_Prim	m	n_Irre	n_Prim
1	2	1	17	7710	7710	33	260300986	211016256
2	1	1	18	14532	7776	34	505286415	336849900
3	2	2	19	27594	27594	35	981706806	929275200
4	3	2	20	52377	24000	36	1908866960	725594112
5	6	6	21	99858	84672	37	3714566310	1857283155
6	9	6	22	190557	120032	38	7233615333	4822382628
7	18	18	23	364722	356960	39	14096302710	11928047040
8	30	16	24	698870	276480	40	27487764474	11842560000
9	56	48	25	1342176	1296000	41	53634713550	53630700752
10	99	60	26	2580795	1719900	42	104715342801	57802864896
11	186	176	27	4971008	4202496	43	204560302842	204064589160
12	335	144	28	9586395	4741632	44	399822314775	200778006528
13	630	630	29	18512790	18407808	45	781874934568	634404960000
14	1161	756	30	35790267	17820000	46	1529755125849	998132265920
15	2182	1800	31	69273666	69273666	47	2994414645858	2992477516800
16	4080	2048	32	134215680	67108864	48	5864061663920	2283043553280

4. 结语

有限域多项式的计数问题是连接数学理论与工程实践的重要桥梁。本文通过公式解析、工具应用及数据整理，构建了从 “理论公式” 到 “工程参数” 的完整链条，为相关领域的研究与开发提供了高效、可靠的参考。