05.线性代数（与课程对应）
1、导入torch
import torch
2、 标量由只有一个元素的张量表示
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
print("x + y:", x + y, "\nx * y:", x * y, "\nx / y:", x / y, "\nx ** y:", x ** y)运行结果：
3、向量：可以视为标量值组成的列表
a = torch.arange(4) # （1）创建一个向量
print("a:", a)
print("a[3]:", a[3]) # （2）通过张量的索引来访问任一元素
print("len(a):", len(a)) # （3）访问张量的长度
print("a.shape:", a.shape) # （4）只有一个轴的张量，形状只有一个元素运行结果：
4、矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4) # （1）通过指定两个分量m和n来创建一个形状为mxn的矩阵
print("A:", A)
print("A.T:", A.T) # （2）矩阵的转置运行结果：
5、对称矩阵：A = A.T
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
print("B:", B)
print("B == B.T:", B == B.T) # 所有元素都为True运行结果：
6、给定具有相同形状的任何两个张量，任何元素二元运算的结果都将是相同形状的张量
C = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
D = C.clone() # 通过分配新内存，将C的一个副本分配给D，这样B与A就没有关系了
print("C:", C, "\nC + D:", C + D)运行结果：
7、两个矩阵的按元素乘法称为 哈达玛积
print("C * D:", C * D)运行结果：
8、张量与标量之间的运算，乘法为例
e = 2
F = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print("e + F:", e + F, "\n(e * F).shape:", (e * F).shape)运行结果：
9、计算其元素的和
k = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
print("k:", k, "\nk.sum():", k.sum())运行结果：
10、表示任意形状张量的元素和
H = torch.arange(20*2).reshape(2, 5, 4)
print("H:", H, "\nH.shape:", H.shape, "\nH.sum():", H.sum())运行结果：
11、指定求和汇总张量的轴；按哪个轴求和，这个轴的维数就会消失（对哪一维求和就是消除哪一维）
H_sum_axis0 = H.sum(axis=0) # （1）对第1个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis0:", H_sum_axis0, "\nH_sum_axis0.shape:", H_sum_axis0.shape)
H_sum_axis1 = H.sum(axis=1) # （2）对第2个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis1:", H_sum_axis1, "\nH_sum_axis1.shape:", H_sum_axis1.shape)
H_sum_axis2 = H.sum(axis=2) # （3）对第3个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis2:", H_sum_axis2, "\nH_sum_axis2.shape:", H_sum_axis2.shape)
运行结果：
12、一个与求和相关的量 平均值（mean 或 average）
M = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
print("M.mean():", M.mean(), "\nM.sum() / M.numel():", M.sum() / M.numel()) # （1）整体求均值
print("M.mean(axis=0):", M.mean(axis=0), "\nM.sum(axis=0) / M.shape[0]:", M.sum(axis=0) / M.shape[0]) # （2）按轴求均值运行结果：
13、计算总和或均值时保持轴数不变
sum_M = A.sum(axis=1, keepdims=True)
print("M:", M, "\nsum_M:", sum_M)
运行结果：
14、通过广播将 M 除以 sum_M
print(M / sum_M)
运行结果：
15、某个轴计算 M 元素的累积总和
print("M.cumsum(axis=0):", M.cumsum(axis=0)) # 每行累加做和运行结果：
16、点积是相同位置的按元素乘积的和
u = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
v = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
print("u:", u, "\nv:", v, "\ntorch.dot(u, v):", torch.dot(u, v))运行结果：
17、可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积
print("torch.sum(u * v):", torch.sum(u * v))运行结果：
18、矩阵向量积 Ax 是一个长度为m的列向量，其每个元素是点积
print("M.shape:", M.shape, "\nx.shape:", u.shape, "\ntorch.mv(M, u):", torch.mv(M, u))
运行结果：
19、矩阵与矩阵乘法 MN可以看作是简单地执行m次矩阵向量积，并将结果拼接在一起，形成一个nxm矩阵
N = torch.ones(4, 3)
print("torch.mm(M, N):", torch.mm(M, N))运行结果：
20、范数：L1、L2范数用于向量；F范数用于矩阵
w = torch.tensor([3.0, -4.0])
print("torch.norm(w):", torch.norm(w)) # （1）L2范数：norm()所有元素平方求和再开根号；向量元素平方和的平方根
print("torch.abs(w).sum():", torch.abs(w).sum()) # L1范数：所有元素的绝对值求和；向量元素的绝对值之和
print("torch.norm(torch.ones((4, 9))):", torch.norm(torch.ones((4, 9)))) # F范数，矩阵的 佛罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素的平方和的平方根；直接通过norm()就可以得到F范数
运行结果：
21、完整代码：
import torch# 1、标量由只有一个元素的张量表示
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
print("x + y:", x + y, "\nx * y:", x * y, "\nx / y:", x / y, "\nx ** y:", x ** y)# 2、向量：可以视为标量值组成的列表
a = torch.arange(4) # （1）创建一个向量
print("a:", a)
print("a[3]:", a[3]) # （2）通过张量的索引来访问任一元素
print("len(a):", len(a)) # （3）访问张量的长度
print("a.shape:", a.shape) # （4）只有一个轴的张量，形状只有一个元素# 3、矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4) # （1）通过指定两个分量m和n来创建一个形状为mxn的矩阵
print("A:", A)
print("A.T:", A.T) # （2）矩阵的转置# 4、对称矩阵：A = A.T
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
print("B:", B)
print("B == B.T:", B == B.T) # 所有元素都为True# 5、就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广，我们可以构建具有更多轴的数据结构
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print("X:", X)# 6、给定具有相同形状的任何两个张量，任何元素二元运算的结果都将是相同形状的张量
C = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
D = C.clone() # 通过分配新内存，将C的一个副本分配给D，这样B与A就没有关系了
print("C:", C, "\nC + D:", C + D)# 7、两个矩阵的按元素乘法称为 哈达玛积
print("C * D:", C * D)# 8、张量与标量之间的运算，乘法为例
e = 2
F = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print("e + F:", e + F, "\n(e * F).shape:", (e * F).shape)# 9、计算其元素的和
k = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
print("k:", k, "\nk.sum():", k.sum())# 10、表示任意形状张量的元素和
H = torch.arange(20*2).reshape(2, 5, 4)
print("H:", H, "\nH.shape:", H.shape, "\nH.sum():", H.sum())# 11、指定求和汇总张量的轴；按哪个轴求和，这个轴的维数就会消失（对哪一维求和就是消除哪一维）
H_sum_axis0 = H.sum(axis=0) # （1）对第1个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis0:", H_sum_axis0, "\nH_sum_axis0.shape:", H_sum_axis0.shape)
H_sum_axis1 = H.sum(axis=1) # （2）对第2个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis1:", H_sum_axis1, "\nH_sum_axis1.shape:", H_sum_axis1.shape)
H_sum_axis2 = H.sum(axis=2) # （3）对第3个维度进行了求和，两外两个维度留下来了
print("H_sum_axis2:", H_sum_axis2, "\nH_sum_axis2.shape:", H_sum_axis2.shape)# 12、一个与求和相关的量 平均值（mean 或 average）
M = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
print("M.mean():", M.mean(), "\nM.sum() / M.numel():", M.sum() / M.numel()) # （1）整体求均值
print("M.mean(axis=0):", M.mean(axis=0), "\nM.sum(axis=0) / M.shape[0]:", M.sum(axis=0) / M.shape[0]) # （2）按轴求均值# 13、计算总和或均值时保持轴数不变
sum_M = A.sum(axis=1, keepdims=True)
print("M:", M, "\nsum_M:", sum_M)# 14、通过广播将 M 除以 sum_M
print("M / sum_M：", M / sum_M)# 15、某个轴计算 M 元素的累积总和
print("M.cumsum(axis=0):", M.cumsum(axis=0)) # 每行累加做和# 16、点积是相同位置的按元素乘积的和
u = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
v = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
print("u:", u, "\nv:", v, "\ntorch.dot(u, v):", torch.dot(u, v))# 17、可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积
print("torch.sum(u * v):", torch.sum(u * v))# 18、矩阵向量积 Ax 是一个长度为m的列向量，其每个元素是点积
print("M.shape:", M.shape, "\nx.shape:", u.shape, "\ntorch.mv(M, u):", torch.mv(M, u))# 19、矩阵与矩阵乘法 MN可以看作是简单地执行m次矩阵向量积，并将结果拼接在一起，形成一个nxm矩阵
N = torch.ones(4, 3)
print("torch.mm(M, N):", torch.mm(M, N))# 20、范数：L1、L2范数用于向量；F范数用于矩阵
w = torch.tensor([3.0, -4.0])
print("torch.norm(w):", torch.norm(w)) # （1）L2范数：norm()所有元素平方求和再开根号；向量元素平方和的平方根
print("torch.abs(w).sum():", torch.abs(w).sum()) # L1范数：所有元素的绝对值求和；向量元素的绝对值之和
print("torch.norm(torch.ones((4, 9))):", torch.norm(torch.ones((4, 9)))) # F范数，矩阵的 佛罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素的平方和的平方根；直接通过norm()就可以得到F范数
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