Joint Sensing and Communication over Memoryless Broadcast Channels

摘要

本文考虑了一种无记忆状态依赖广播信道(BC)，其中发射机希望通过广义反馈向两个接收机传输私有消息，同时估计它们各自的状态。该模型由联合雷达和通信系统为背景，其中雷达和数据应用共享相同的频段。对于物理退化的BC，我们用迭代状态序列表征了容量-失真区域的折衷。对于一般的BC，我们提供了容量-失真区域的内界和外界，以及当容量-失真区域等于容量区域与失真集合的乘积时的一个充分条件。因此，我们提出的协同设计方案明显优于将资源分别用于感知或通信的传统方法。

I. 引言

未来高移动性网络（如车联网V2X）的关键使能技术是能够持续跟踪动态变化的环境，在此称为_状态_，并通过节点间交换信息做出相应反应。虽然在过去，状态感知和通信曾被分开设计，但功率和硬件成本效率促使这两种功能的整合，使它们能够通过共享相同的频段和硬件来运行（参见例如[1]）。一个典型的例子是联合雷达参数估计和通信的场景，其中配备单静态雷达的发射机希望向接收机传输消息，同时从背向散射信号估计状态参数，如速度和距离[2]。受此类应用的启发，联合感知和通信的首个信息理论模型已在[3]中引入。通过将背向散射信号建模为广义反馈，精心设计输入信号，单用户信道的容量-失真折衷已在[3]中得到表征，而多址接入信道的速率-失真区域的上下界已在[4]中给出。

本文将[3]扩展到广播信道(BC)，其中发射机希望向两个接收机传输私有消息，同时估计它们各自的状态。为简化起见，假设每个接收机已知状态信息。虽然简化了，但所讨论的场景与车辆网络相关，其中一辆装有单静态雷达的发射车辆向多辆车辆发送（安全相关）消息，同时估计这些车辆的参数。完全表征BC的容量-失真区域并确定对通信和感知都最优的方案似乎具有挑战性。

实际上，即使是仅通信的最优方案一般也未知，且在一般情况下，带广义反馈的BC容量区域尚未被表征（参见例如[5]）。因此，我们专注于物理退化BC的特殊情况，其中广义反馈仅对状态感知有用，但不会增加容量，就像单用户信道一样。对于这类BC，容量-失真区域已被完全表征。此外，对于一些二元示例，我们提供了该区域的闭式表达式。数值评估说明了两个接收机之间的可达速率和失真的折衷。对于一般的BC，我们提供了一个充分条件，当容量-失真区域简单地等于容量区域与可达失真集合的乘积时，通信和感知之间的折衷就会产生。此外，我们提供了容量-失真区域的一般内界和外界，并以状态依赖Dueck示例进行说明。对于所有这些类型的BC，我们通过数值示例表明，协同设计方案显著优于将资源分别用于感知或通信的资源共享方案。

论文的其余部分组织如下。第II节介绍我们的模型，第III节给出一些不存在通信和感知折衷的情况。第IV节关注物理退化广播信道并提供一些示例。最后，在第V节中给出了一般无记忆广播信道的上下界及一个示例。

II. 系统模型

考虑一个具有两个私有消息 $W_1$ 和 $W_2$ 的两用户状态依赖无记忆广播信道(SDMBC)，如图1所示。

如图1所示。该模型包含一个二维无记忆状态序列 $(S_{1,i}, S_{2,i})_{i \geq 1}$ ，其样本在时间 $i$ 根据给定的联合概率律 $P_{S_1 S_2}$ 分布在状态字母表 $\mathcal{S}_1 \times \mathcal{S}_2$ 上。给定输入和输出字母表 $\mathcal{X}$ 、 $\mathcal{Y}_1$ 、 $\mathcal{Y}_2$ 、 $\mathcal{Z} \subseteq \mathbb{R}$ 以及状态实现 $S_{1,i} = s_1 \in \mathcal{S}1$ 和 $S_{2,i} = s_2 \in \mathcal{S}2$ ，SDMBC在每个时间 $i$ 产生三元输出 $(Y_{1,i},Y_{2,i},Z_i) \in \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2 \times \mathcal{Z}$ ，根据给定的时不变转移概率律 $P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}(\cdot,\cdot,\cdot|s_1,s_2,x)$ 一个SDMBC完全由字母表和（条件）概率质量函数的元组指定：

$(\mathcal{X}, \mathcal{Y}_1, \mathcal{Y}_2, \mathcal{Z}, P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}) \quad (1)$

我们通常只用概率质量函数对 $(P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X})$ 来描述SDMBC，这种情况下，相应的字母表应从上下文中明确。

一个 $(2^{nR_1}, 2^{nR_2}, n)$ 码用于SDMBC的 $P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}$ 由以下组成：

两个消息集 $\mathcal{W}_1 = [1: 2^{nR_1}]$ 和 $\mathcal{W}_2 = [1: 2^{nR_2}]$ ；
一系列编码函数 $\phi_i: \mathcal{W}_1 \times \mathcal{W}_2 \times \mathcal{Z}^{i-1} \to \mathcal{X}$ ，其中 $i = 1, 2, \ldots, n$ ；
对于每个 $k = 1, 2$ ，解码函数 $g_k: \mathcal{S}_k^n \times \mathcal{Y}_k^n \to \mathcal{W}_k$ ；
对于每个 $k = 1, 2$ ，状态估计器 $h_k: \mathcal{X}^n \times \mathcal{Z}^n \to \hat{\mathcal{S}}_k^n$ ，其中 $\hat{\mathcal{S}}_k$ 表示状态序列 $S_k^n = (S_{k,1}, \cdots, S_{k,n})$ 的给定重构字母表。

对于给定的码，令随机消息 $W_1$ 和 $W_2$ 均匀分布在消息集 $\mathcal{W}_1$ 和 $\mathcal{W}_2$ 上，并令输入 $X_i = \phi_i(W_1, W_2, Z^{i-1})$ ，用于 $i = 1, \ldots, n$ 。相应的输出 $Y_{1,i}$ 、 $Y_{2,i}$ 、 $Z_i$ 在时间 $i$ 根据状态 $S_{1,i}$ 和 $S_{2,i}$ 以及输入 $X_i$ ，按照SDMBC转移律 $P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}$ 获得。进一步，令 $\hat{S}_k^n := (\hat{S}_{k,1}, \cdots, \hat{S}_{k,n}) = h_k(X^n, Z^n)$ 为发射机处的状态估计，且令 $\hat{W}_k = g_k(S_k^n, Y_k^n)$ 为解码器 $k$ 解码的消息，用于 $k = 1, 2$ 。

状态估计 $\hat{S}_k^n$ 的质量由给定的每符号失真函数 $d_k: \mathcal{S}_k \times \hat{\mathcal{S}}_k \mapsto [0, \infty)$ 度量，我们将关注每块平均失真的期望值：

$\Delta_k^{(n)} \triangleq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[d_k(S_{k,i}, \hat{S}_{k,i})], \quad k = 1, 2. \quad (2)$

对于解码消息 $\hat{W}_1$ 和 $\hat{W}_2$ ，我们关注它们的联合错误概率：

$p^{(n)}(\text{error}) := \Pr\left(\hat{W}_1 \neq W_1 \text{ or } \hat{W}_2 \neq W_2\right). \quad (3)$

定义1. 如果存在一个 $(2^{nR_1}, 2^{nR_2}, n)$ 码序列同时满足以下条件：

$\lim_{n\to\infty} p^{(n)}(\text{error}) = 0 \quad (4a)$

$\lim_{n\to\infty} \Delta_k^{(n)} \leq D_k, \text{ for } k = 1, 2. \quad (4b)$

则速率-失真元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 被称为是可达的。所有可达速率-失真元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 的并集的闭包被称为容量-失真区域，并表示为 $\mathcal{CD}$ 。本文旨在确定可达速率和失真之间的折衷。正如我们将在第III和V节中看到的，在某些情况下不存在这种折衷，并且结果区域 $\mathcal{CD}$ 是SDMBC容量区域：

$\mathcal{C} \triangleq {(R_1, R_2): (R_1, R_2, D_1, D_2) \in \mathcal{CD} \text{ for } D_1, D_2 \geq 0}, \quad (5)$

和其失真区域的乘积：

$\mathcal{D} \triangleq {(D_1, D_2): (R_1, R_2, D_1, D_2) \in \mathcal{CD} \text{ for } R_1, R_2 \geq 0}. \quad (6)$

在展示我们关于折衷区域 $\mathcal{CD}$ 的结果之前，我们先描述最优估计器 $h_1$ 和 $h_2$ 。

引理1. 对于 $k = 1, 2$ 和任意 $i = 1, \ldots, n$ ，当 $X_i = x$ 且 $Z_i = z$ 时，使平均期望失真 $\Delta_k^{(n)}$ 最小化的最优估计器 $h_k$ 由下式给出：

$\hat{s}_{k,i}(x,z) \triangleq \arg\min_{s' \in \hat{\mathcal{S}}k} \sum_{s_k \in \mathcal{S}k} P_{S_{k,i}|X_iZ_i}(s_k|x,z)d(s_k, s'). \quad (7)$

在上述定义(7)中，索引可以任意打破平局。

注意，该引理特别意味着只基于 $(X_i, Z_i)$ 估计 $S_{k,i}$ 的逐符号估计器是最优的；无需使用先前或后续的观测 $(X^{i-1}, Z^{i-1})$ 或 $(X_{i+1}^n, Z_{i+1}^n)$ 。

引理1的证明：回顾 $\hat{S}_k^n$ 是 $X^n, Z^n$ 的函数，对于每个 $i = 1, \ldots, n$ ：

$\mathbb{E}[d_k(S_{k,i}, \hat{S}_{k,i})]$

$= \mathbb{E}_{X^n, Z^n}[\mathbb{E}[d_k(S_{k,i}, \hat{S}_{k,i})|X^n, Z^n]] \quad (8)$

$\stackrel{(a)}{=} \sum_{x^n, z^n} P_{X^nZ^n}(x^n, z^n) \sum_{s_k \in \mathcal{S}k} P_{S_{k,i}|X^nZ^n}(s_k|x^n, z^n)$

$\cdot \sum_{z_k} P_{S_{k,i}|X_iZ_i}(s_k|x_i, z_i)d(s_k, \hat{s}_k) \quad (9)$

$\geq \sum_{x^n, z^n} P_{X^nZ^n}(x^n, z^n)$

$\cdot \min_{\hat{s}k \in \hat{\mathcal{S}}k} \sum{s_k} P_{S_{k,i}|X_iZ_i}(s_k|x_i, z_i)d(s_k, \hat{s}_k)$

$= \mathbb{E}[d(S_{k,i}, \hat{s}_k^*(X_i, Z_i))], \quad (10)$

其中 $(a)$ 由马尔可夫链成立：

$(X^{i-1}, X_{i+1}^n, Z^{i-1}, Z_{i+1}^n, \hat{S}_{k,i}) \ominus (X_i, Z_i) \ominus S_{k,i}.$

III. 速率-失真折衷的不存在

我们首先考虑退化情况，其中速率-失真折衷区域由容量区域 $\mathcal{C}$ 和失真区域 $\mathcal{D}$ 的笛卡尔积给出。

命题2 (无失真-速率折衷). 考虑一个SDMBC $(P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X})$ ，并对给定输入律 $P_X$ 令 $(X, S_1, S_2, Y_1, Y_2, Z)$ 表示一个 $P_{X, S_1S_2, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}}$ 。如果存在域为 $\mathcal{Z}$ 的函数 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 使得对于所有 $P_X$ ，马尔可夫链

$(S_k, \psi_k(Z)) \perp X, \quad (11)$

$S_k \perp \psi_k(Z) \perp (Z, X), \quad k \in {1, 2}, \quad (12)$

成立，则对于所考虑的SDMBC：

$\mathcal{CD} = \mathcal{C} \times \mathcal{D}. \quad (13)$

在这种情况下，可达速率对 $(R_1, R_2)$ 和可达失真对 $(D_1, D_2)$ 之间不存在折衷。

证明：注意到在给定的马尔可夫链下：

$P_{S_{k,i}|X_iZ_i}(s_k|x,z) = P_{S_{k,i}|\psi_k(Z_i)}(s_k|\psi_k(z)). \quad (14)$

根据引理1，最优估计器仅依赖于序列 ${\psi_k(Z_i)}_{i=1}^n$ ，对于 $k = 1, 2$ 。然后，由(11)，最优估计器及其性能独立于所选编码方案，我们得出结论(13)。

以下示例在适当选择 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 的情况下满足命题2中的条件(11)和(12)。

A. 示例：带噪声反馈的擦除BC

令联合律 $P_{S_1S_2E_1E_2}(s_1,s_2,e_1,e_2)$ 在 $\left \{ {0,1}^4\right \}$ 上是任意但给定的，且 $(E_1,E_2,S_1,S_2) \sim P_{S_1S_2E_1E_2}$ 。考虑状态依赖擦除BC：

$Y_k = \begin{cases} X, & \text{if}~S_k = 0, \\ ?, & \text{if}~S_k = 1, \end{cases} \quad k = {1,2}, \quad (15)$

其中反馈信号 $Z = (Z_1, Z_2)$ 由以下给出：

$Z_k = \begin{cases} Y_k, & \text{if}~E_k = 0, \\ ?, & \text{if}~E_k = 1, \end{cases} \quad k = {1,2}. \quad (16)$

进一步考虑Hamming失真度量 $d_k(s, \hat{s}) = s \oplus \hat{s}$ ，对于 $k = 1, 2$ 。对于选择：

$\psi_k(Z) = \begin{cases} 1, & \text{if}~Z_k=? \\ 0, & \text{else} \end{cases} \quad (17)$

所描述的SDMBC满足命题2中的条件，因此其容量-失真区域由以下给出：

$\mathcal{CD} = \mathcal{C} \times \mathcal{D}. \quad (18)$

说明1：对于输出反馈 $Z = (Y_1, Y_2)$ 或 $E_1 = E_2 = 0$ 的情况，发射机可以完美估计状态 $(S_1, S_2)$ ，从而达到失真 $D_1 = D_2 = 0$ ，不考虑速率对 $(R_1, R_2) \in \mathcal{C}$ 。带输出反馈的擦除广播信道的容量区域 $\mathcal{C}$ 在一般情况下仍未知。

IV. 物理退化BC

在本节中，通过关注物理退化SDMBC，我们完全表征容量-失真区域。然后，我们讨论两个二元物理退化SDMBC，以说明两个接收机之间的速率-失真折衷。

定义2：如果存在条件律 $P_{Y_1|XS_1}$ 和 $P_{Y_2S_2|S_1Y_1}$ 使得：

$P_{Y_1Y_2|S_1S_2X}P_{S_1S_2} = P_{S_1}P_{Y_1|XS_1}P_{Y_2S_2|S_1Y_1}. \quad (19)$

那么SDMBC $(P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X})$ 被称为物理退化的。

这意味着对于任意输入 $P_X$ ，如果元组 $(X, S_1, S_2, Y_1, Y_2) \sim P_XP_{S_1S_2}P_{Y_1Y_2|S_1S_2X}$ ，则它满足马尔可夫链：

$X \perp (S_1, Y_1) \perp (S_2, Y_2). \quad (20)$

命题3：物理退化SDMBC的容量-失真区域 $\mathcal{CD}$ 是所有四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 集合的闭包，对于这些四元组存在联合律 $P_{UX}$ 使得元组 $(U, X, S_1, S_2, Y_1, Y_2, Z) \sim P_{UX}P_{S_1S_2}P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}$ 满足两个速率约束：

$R_1 \leq I(X; Y_1 | S_1, U) \quad (21)$$ $$R_2 \leq I(U; Y_2|S_2), \quad (22)$

和失真约束：

$\mathbb{E}[d_k(S_k, \hat{s}_k^*(X, Z))] \leq D_k, \quad k = 1, 2, \quad (23)$

其中：

$\hat{s}k^*(x, z) \triangleq \arg\min_{s' \in \hat{\mathcal{S}}k} \sum_{s_k \in \mathcal{S}k} P_{S_k|XZ}(s_k|x, z)d(s_k, s'). \quad (24)$

此外，可以限制随机变量 $U$ 在满足 $|\mathcal{U}| \leq \min{|\mathcal{X}|, |\mathcal{Y}_1| \cdot |\mathcal{S}_1|, |\mathcal{Y}_2| \cdot |\mathcal{S}_2|} + 1$ 的字母表 $\mathcal{U}$ 上。

证明：逆向结论作为定理6的特殊情况得出，其中可以忽略约束(33c)和(33d)。注意约束(33b)等价于(22)，因为 $(U, X)$ 独立于 $(S_1, S_2)$ ，且对于物理退化DMBC，马尔可夫链(20)成立。基数界限可以使用Carathéodory定理证明。

可达性通过简单的叠加编码并使用引理1中描述的最优估计器获得。

对于二元状态，我们考虑Hamming失真度量。

A. 示例：带乘性状态的二元BC

考虑具有二元输入/输出字母表 $\mathcal{X} = \mathcal{Y}_1 = \mathcal{Y}_2 = {0, 1}$ 和二元状态字母表 $\mathcal{S}_1 = \mathcal{S}_2 = {0, 1}$ 的物理退化SDMBC。信道输入-输出关系由以下给出：

$Y_k = X \cdot S_k, \quad k = 1, 2, \quad (25)$

联合状态pmf为：

$P_{S_1S_2}(s_1, s_2) = \begin{cases} 1 - q, & \text{if}~(s_1,s_2) = (0,0) \\ 0, & \text{if}~(s_1,s_2) = (0,1) \\ q \cdot \gamma, & \text{if}~(s_1,s_2) = (1,1) \\ q \cdot (1 - \gamma), & \text{if}~(s_1,s_2) = (1,0), \end{cases} \quad (26)$

对于 $\gamma, q \in [0, 1]$ 。注意 $S_2$ 是 $S_1$ 的退化版本。我们考虑输出反馈 $Z = (Y_1, Y_2)$ 。

推论4：由(25)-(26)参数化(由 $(q, \gamma)$ )的二元物理退化SDMBC的容量-失真区域 $\mathcal{CD}$ 是满足以下条件的所有四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 的集合：

$R_1 \leq q \cdot H_b(p) \cdot r \quad (27a)$$ $$R_2 \leq \gamma \cdot q \cdot H_b(p) \cdot (1 - r) \quad (27b)$

$D_1 \geq (1-p) \cdot \min{q, 1-q} \quad (27c)$$ $$D_2 \geq (1-p) \cdot \min{\gamma \cdot q, 1-\gamma \cdot q}, \quad (27d)$

对于某些参数 $r,p \in [0,1]$ 的选择。

证明：只需对 $X = V \oplus U$ 评估速率约束(21)和(22)，其中 $U$ 和 $V$ 是独立的伯努利分布随机变量。在(27)中，我们选择参数 $p = \Pr[X = 1]$ 和 $r = \frac{I(X;Y_1|S_1,U)}{H_b(p)}$ 。要计算失真，我们从(24)确定最优估计器 $\hat{s}_k^*(x,y_1,y_2)$ 为：

$\hat{s}_1^*(1,y_1,y_2) = y_1, \quad (28a)$$ $$\hat{s}_1^*(0,y_1,y_2) = 1\left \{ {P_{S_1}(1) > 1/2} \right \}. \quad (28b)$

说明2：固定 $r = 1$ ，(27)中的容量-失真区域简化为单用户信道的容量-失真折衷[3, 命题1]。与单用户情况类似，我们观察到通过选择 $p = 1$ (始终发送 $X = 1$ )可达到最小失真，以及通过选择 $p = 1/2$ 可达到最大速率。在BC中，通过时间共享参数$r$在两个用户之间共享资源。

比较由所提出的协同设计方案实现的容量-失真区域 $\mathcal{CD}$ （该方案对感知和通信任务使用共同波形）与两种基线方案实现的速率-失真区域是很有价值的：1) 资源分割方案，该方案执行状态估计（通过反馈或忽略反馈）；ii) 时间共享方案，该方案执行状态估计（通过反馈）或带反馈的广播。

图2显示了当 $\gamma = 1/2$ 且 $q = 0.6$ 时折衷区域 $\mathcal{CD}$ 在 $(R_1, R_2, D_1)$ 三维平面上的投影中的显著边界点。由于 $D_2$ 是 $D_1$ 的缩放版本，因此省略了与 $D_2$ 的折衷。我们将我们的协同设计方案与前面提到的基线方案进行比较。从图2可以观察到，资源分割和时间共享方法都无法实现整个折衷区域 $\mathcal{CD}$

到目前为止，两个失真约束 $D_1$ 和 $D_2$ 之间没有折衷。这在下一个示例中有所不同，尽管其他方面非常相似。

B. 示例：带翻转输入的二元BC

重新考虑与前面示例相同的状态pmf $P_{S_1S_2}$ ，但现在是一个SDMBC，其转移律为：

$Y_1 = X \cdot S_1, \quad Y_2 = (1-X) \cdot S_2. \quad (29)$

考虑输出反馈 $Z = (Y_1, Y_2)$ 。

推论5：(29)中带翻转输入和输出反馈的二元SDMBC的容量-失真区域 $\mathcal{CD}$ 是满足以下条件的所有四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 的集合：

$R_1 \leq q \cdot H_b(p) \cdot r \quad (30a)$$ $$R_2 \leq \gamma \cdot q \cdot H_b(p) \cdot (1 - r) \quad (30b)$$ $$D_1 \geq (1-p) \cdot \min{q(1-\gamma), (1-q)} \quad (30c)$$ $$D_2 \geq p \cdot q\min{\gamma, 1-\gamma} \quad (30d)$

对于某些参数 $r,p \in [0,1]$ 的选择。

证明：要达到这个区域，我们可以考虑与前一个示例中相同的 $(U,X)$ 选择。估计器由(28a)和：

$\hat{s}2^*(x = 0, y_1, y_2) = y_2, \quad (31)$$ $$\hat{s}_2^*(x = 1, y_1, y_2) = 1\left \{ {P{S_2}(1) > 1/2} \right \}. \quad (32)$

与前一个示例相比，这里我们观察到可达失真 $D_1$ 和 $D_2$ 之间存在折衷。

V. 一般界限

重新考虑一般SDMBC（不一定是物理退化的）。我们提供关于容量-失真区域的内界和外界。

定理6：如果 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 在SDMBC $(P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X})$ 上可达，则对于每个 $k = 1, 2$ 存在条件pmf $P_{U_k|X}$ 使得随机元组 $(U_k, X, S_1, S_2, Y_1, Y_2, Z) \sim P_{U_k|X}P_XP_{S_1S_2}P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}$ 满足速率约束：

$R_1 \leq I(U_1; Y_1 | S_1), \quad (33a)$$ $$R_1 + R_2 \leq I(X; Y_1, Y_2 | S_1, S_2, U_1), \quad (33b)$$ $$R_1 + R_2 \leq I(X; Y_1, Y_2 | S_1, S_2, U_2), \quad (33c)$$ $$R_2 \leq I(U_2; Y_2 | S_2) \quad (33d)$

以及平均失真约束：

$\mathbb{E}[d_k(S_k, \hat{s}_k^*(X, Z))] \leq D_k, \quad k = 1, 2, \quad (34)$

其中函数 $\hat{s}_k^*(\cdot, \cdot)$ 在(24)中定义。

证明：省略。见[5]。

下一个内界通过将[6]中的可达区域与引理1中的最优估计器结合得到。

命题7：考虑一个SDMBC $(P_{S_1S_2}, P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X})$ 。对于任何（条件）pmf $P_{U_0U_1U_2X}$ 和 $P_{V_0V_1V_2|U_0U_1U_2XZ}$ 以及元组 $(U_0, U_1, U_2, X, S_1, S_2, Y_1, Y_2, Z, V_0, V_1, V_2) \sim P_{U_0U_1U_2X}P_{S_1S_2}P_{Y_1Y_2Z|S_1S_2X}P_{V_0V_1V_2|U_0U_1U_2XZ}$ ，满足不等式(36)和失真约束：

$\mathbb{E}[d_k(S_k, \hat{s}_k^*(X, Z))] \leq D_k, \quad k = 1, 2, \quad (35)$

对于(24)中定义的 $\hat{s}_k^*(\cdot, \cdot)$ ，所有四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 集合的闭包是可达的。

$R_1 \leq I(U_0, U_1; Y_1, V_1 | S_1) - I(U_0, U_1, U_2, Z; V_0, V_1|S_1, Y_1) \quad (36a)$$ $$R_2 \leq I(U_0, U_2; Y_2, V_2 | S_2) - I(U_0, U_1, U_2, Z; V_0, V_2|S_2, Y_2) \quad (36b)$$ $$R_1 + R_2 \leq I(U_1; Y_1, V_1|U_0, S_1) + I(U_2; Y_2, V_2|U_0, S_2) + \min_{i \in {1,2}} I(U_0; Y_i, V_i | S_i) - I(U_1; U_2|U_0)$$ $$-I(U_0, U_1, U_2, Z; V_1|V_0, S_1, Y_1) - I(U_0, U_1, U_2, Z; V_2|V_0, S_2, Y_2) - \max_{i \in {1,2}} I(U_0, U_1, U_2, Z; V_0|S_i, Y_i) \quad (36c)$

A. 示例：带二元状态的Dueck的BC

考虑Dueck的BC[7]的状态依赖版本，其输入 $X = (X_0, X_1, X_2) \in\left \{ {0,1}^3 \right \}$ ，输出：

$Y_k = (X_0, Y_k', S_1, S_2), \quad k = 1, 2, \quad (37)$

以及状态 $S_1, S_2 \in {0, 1}$ ，且：

$Y_k' = S_k(X_k \oplus N), \quad k = 1, 2, \quad (38a)$

其中噪声 $N$ 是独立于输入的伯努利- $\frac{1}{2}$ 。假设i.i.d.状态使得 $P_{S_1S_2}(s_1, s_2) = P_S(s_1)P_S(s_2)$ 对于给定的pmf $P_S$ 。反馈信号为 $Z = (Y_1', Y_2')$ 。

推论8：Dueck的状态依赖BC的容量-失真区域 $\mathcal{CD}$ 包含在满足四个速率约束的四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 集合中：

$R_1 \leq 1 - p \quad (39a)$$ $$R_2 \leq p + (P_S(1))^2 \cdot H_b(\beta) \quad (39b)$$ $$R_1 \leq q + (P_S(1))^2 \cdot H_b(\beta) \quad (39c)$$ $$R_2 \leq 1 - q \quad (39d)$

以及 $k=1,2$ 的两个失真约束：

$D_k \geq \frac{1}{2}(1 - \beta) \cdot \min\left \{ {P_S(1), P_S(0) \cdot (1 + P_S(0))} \right \}$$ $$+ \frac{\beta}{2}[P_S(0)P_S(1) + P_S(1) \cdot \min\left \{ {P_S(0), P_S(1)}\right \}] \quad (39e)$

对于参数 $p,q,\beta \in [0,1]$ 的某些选择。

此外，它包含对于某些 $\beta \in [0,1]$ 满足以下条件的所有四元组 $(R_1, R_2, D_1, D_2)$ 集合：

$R_k \leq 1, \quad k = {1, 2}, \quad (40a)$$ $$R_1 + R_2 \leq 1 + P_S(1) \cdot (H_b(\beta) - P_S(0)) \quad (40b)$

以及(39e)中的两个失真约束。

证明：要获得内界(40)，对以下情况评估命题7： $X_0, X_1, X_2$ 是伯努利- $\frac{1}{2}$ ，其中 $X_0$ 独立于 $(X_1, X_2)$ ； $U_0 = X_0$ ； $X_1 = X_2 = x$ ，概率为 $\beta$ ，对于 $x \in {0,1}$ ； $U_i = X_i$ ，对于 $i = 0,1,2$ ； $V_1 = (X_0, X_1)$ ， $V_2 = (X_0, X_2)$ ，以及 $V_0 = X_1 \oplus Y_1'$ 或 $V_0 = X_2 \oplus Y_2'$ 。外界基于定理6。

推论8中的内界和外界一般不一致。特别是，图3显示了当 $P_S(1) = \frac{2}{3}$ 和 $P_S(0) = \frac{1}{3}$ 时，我们的内界和外界在可接受失真 $D_1 = D_2$ 的函数上允许的最大和速率 $R_1 + R_2$ 。（注意最小失真为 $D_{\min} = \frac{5}{27}$ 。）相比之下，当 $P_S(1) \leq P_S(0)$ 时，失真约束(39e)简化为 $D_k \geq P_S(1)$ 。在这种情况下，选择 $\beta = 1/2$ 对内界和外界都是最优的，此时界限一致且等于 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ 。因此，这种情况下不存在速率-失真折衷。