软考高级《系统架构设计师》知识点（十八）

数学与经济管理

图论应用

最小生成树
有两种方法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，实际计算建议采用克鲁斯卡尔算法。

克鲁斯卡尔算法：将图中所有的边按权值从小到大排序，从权值最小的边开始选取，判断是否为安全边(即不构成环),直至选取了n-1条边，构成了最小生成树。

最小生成树并不唯一，但权值之和都相等且最小，只要求出一个就可以。

最短路径
计算从起点到终点的最短路径，注意与关键路径截然相反，不要混淆。
方法：从起点开始，依次向终点推导，每个经过的中间节点都直接计算出到该中间节点最短的路径，这样递归推导到终点，就是最短路径。

网络与最大流量
计算从一个节点到另一个节点的最大运输能力，取决于节点之间运输能力的短板：首先看有多少条路径可走，最大流量等于所有路径最大流量之和，而每条路径的最大流量是节点之间运输能力最小的流量决定的(短板决定)。

解题技巧：

1. 取每条路径上的最小权值即为此条路径的最大流量，每次走完一条路径后，需要实时修改此条路径还剩下的运输流量值，若为0,则删掉此连线。
2. 重复第1步，直至从起点到终点无路径连通，而后将每条路径上的流量相加得到整体最大流量。

运筹方法

线性规则
线性规划是在一组约束条件下来寻找目标函数的极值(极大值和极小值)问题。
线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、变量非负条件组成(实际问题中的变量一般都是非负的)。
线性规划问题就是面向实际应用，求解一组非负变量，使其满是给定的一组线性约束条件，并使某个线性目标函数达到极值。满是这些约束条件的非负变量组的集合称为可行解域。可行解域中使目标函数达到极值的解称为最优解。
线性规划问题的最优解要么是0个(没有),要么是唯一的(1个),要么有无穷个(只要有2个，就会有无穷个)。
在实际应用中，可以直接求约束条件方程组的解，即是交叉点，将这些解代入到目标函数中判断是否极值即可。

动态规划
动态规划求解给定多种方案求出最佳方案的问题。

直接运用动态规划法的原理来解题非常复杂，因此一般采用穷举法解题：
依据真题规则，将题目给出的所有投资方案全部穷举出来，所有方案获得的收益一目了然，然后取最佳投资方案，简单明了，不容易错。

伏格尔法
伏格尔法针对多种解决方法问题，如多个煤场供给多个工厂的运输成本。

从正常思维来思考，在没有任何约束条件的情况下，我们会优先考虑运输成本最低的方案，这就是最小元素法，但是当有多个制约因素时，最小元素法的缺点是，为了节约一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。
因此，多个因素互相制约时，普遍采用伏格尔法又称差值法，该方法考虑到，某产地的产品如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。

由上述原理，可得出其解题步骤为：

1. 计算出每行每列的最小运费和次小运费的差值(绝对值)。
2. 从这些差值里选出最大的的行(列),定位到该行(列),从该行(列)中找出最小的那一个，就是优先供应的方案。
3. 供应后，更新供应量和需求量，如果某行(列)的供应量和需求量为0,则删除该行列。
4. 形成一个人新的表格，重复上述步骤。

博弈论
研究具有竞争和对抗性质的行为的数学理论和方法。参加竞争的各方都有各自的目标和利益，各方为了达到自己的目标，必须要研究对手的资料，博弈论就是研究如何在多方中寻找出一个最合理的方案。
参与博弈的双方处于竞争状态，双方都不能信任对方，因此都只会采用对自己有用的方案，而这种方法对双方来说并不是最优的，但因为双方都不信任，要只能这样。

状态转移矩阵
两个产品之间的状态会互相转变，给出一个状态转换矩阵，表明了两个产品随着时间的变化该如何转变，求解一定时间后两个产品的状态。
解题技巧：当前两个产品的状态依赖于之前一个阶段的状态以及状态转移矩阵系数。

排队论
求解排队问题，即检票和排队速度不对等时，如何达到一个平衡的问题。
解题技巧：要学会假设，一般对检票速度、排队人数都要做出未知数假设，然后列出多个方程求解出未知数之间的关系，再进行推导。

决策论
按决策环境分类:

• 确定型决策：决策环境是确定的，结果也是确定的。
• 风险决策：决策环境是不确定的，但是结果发生的概率是一致的。
• 不确定型决策：决策环境不确定，且结果也不确定，完全凭主观意识来决定。

决策的六个要素:决策者、可供选择的方案(包括行动、策略)、衡量选择方案的准则(目的、目标、正确性等)、事件(被决策的对象)、每一事件的发生将会产生的某种结果、决策者的价值观。

不确定型决策:
决策者对环境一无所知，任意猜测，完全凭借与决策者自身价值观，有五种准则(建立环境与方案的表格，每个环境每种方案对应一个收益):悲观主义准则(小中取大max(min),先取每个方案最小的收益，再取所有最小收益中最大的那个);乐观主义准则(大中取大max(max),先取每个方案最大的收益，再取所有最大收益中最大的那个);折中主义准则(设定折中系数a,用每个方案的最大收益a+最小收益(1-a),选择每个方案中计算结果最大的那个，可知，a=1时为乐观主义，a=0时为悲观主义);等可能性准则(设定每个可能的结果的发生都是等可能的，这样就知道每个结果发生的概率，即将不确定型的问题转换为了风险决策问题);后悔值准则(最小最大后悔值min(max),在不同的环境中(之前都是方案),投资方案获得的最大收益-当前选择的收益=后悔值，将所有后悔值中每个方案的最大后悔值选出，再从这些最大的后悔值中选择最小的即可)。

投资策略 \ 经济趋势预测	不景气	不变	景气
积极策略	50	150	500
稳健策略	100	200	300
保守策略	300	250	200

风险决策(决策树和决策表):
对环境不了解，但是对即将发生的结果的概率了解，一般题目会给出每个结果对应的收益及风险概率，然后将每种结果产生的收益*此种结果发生的概率，取收益最大的即可，与风险曝光度类似。

数学建模
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。

数学建摸过程:

1. 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
2. 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3. 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数字工具。
4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。
5. 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
6. 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建摸过程。
7. 模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

数学建模方法

1. 直接分析法：根据对问题直接的内在的认识，直接构造出模型。
2. 类比法：根据之前类似的模型构造出一个新的模型。
3. 数据分析法：通过实验获得与问题相关的大量数据，用统计分析的方法来进行建模。
4. 构想法：对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述，而后用现有的方法来建模，然后不断的完善。