0 Archimedes公理、Dedekind分割定理
Axiom \textbf{Axiom} Axiom Archimedes \ \text{Archimedes} Archimedes 公理
∀ x ∈ R + , y ∈ R : ∃ n ∈ N , s . t . n x > y \forall x\in\R^+,y\in\R:\exist n\in\N,\mathrm{s.t.}\ nx>y ∀x∈R+,y∈R:∃n∈N,s.t. nx>y
Definition \textbf{Definition} Definition Dedekind \ \text{Dedekind} Dedekind 分割
将实数集 R \R R 分为两个集合 A , A ′ A,A' A,A′，若满足：
- A , A ′ ≠ ϕ A,A'\ne\phi A,A′=ϕ；
- A ∪ A ′ = R A\cup A'=\R A∪A′=R；
- ∀ a ∈ A , a ′ ∈ A ′ : a < a ′ \forall a\in A,a'\in A':a<a' ∀a∈A,a′∈A′:a<a′；
则称为 R \R R 的一个戴德金分割，记作 A ∣ A ′ A|A' A∣A′.
Theorem \textbf{Theorem} Theorem Dedekind \ \text{Dedekind} Dedekind 定理
实数集 R \R R 内任一分割 A ∣ A ′ A|A' A∣A′ 都存在唯一实数 α \alpha α， α \alpha α 或为 A A A 的最大数，或为 A ′ A' A′ 的最小数.
1 确界存在原理
Theorem \textbf{Theorem\ } Theorem 确界存在原理
非空有上(下)界数集必有上(下)确界.
1.0 戴德金定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设数集 E E E 非空有上界，若 E E E 中有最大元素，则其为上确界，满足定理；
若 E E E 中无最大元素，将 E E E 的上界构成集合记作 A ′ A' A′，记 A = R \ A ′ A=\R\backslash A' A=R\A′，则
(1) A ∪ A ′ = R A\cup A'=\R A∪A′=R；
(2) 由于 E E E 存在上界，所以 A ′ ≠ ϕ A'\ne\phi A′=ϕ，另外 ∃ x ∈ E , s . t . x ∈ A ≠ ϕ \exist x\in E,\mathrm{s.t.}x\in A\ne\phi ∃x∈E,s.t.x∈A=ϕ；
(3) ∀ a ∈ A , a ′ ∈ A ′ : a < a ′ \forall a\in A,a'\in A':a<a' ∀a∈A,a′∈A′:a<a′；
故 A ∣ A ′ A|A' A∣A′ 构成 Dedekind \text{Dedekind} Dedekind 分割，由 Dedekind \text{Dedekind} Dedekind 定理， A ′ A' A′ 有最小元素 β = sup E \beta=\sup E β=supE，同理可证下确界情形.
1.1 闭区间套定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设 S S S 为非空有上界实数集， T T T 为 S S S 上界集合，此时证 T T T 含有最小元素，即 S S S 存在上确界，取实数 a 1 ∉ T , b 1 ∈ T a_1\notin T,b_1\in T a1∈/T,b1∈T，二等分区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]，选取同时包含 S , T S,T S,T 元素的区间记为 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2]，即
[ a 2 , b 2 ] : = { [ a 1 , a 1 + b 1 2 ] , a 1 + b 1 2 ∈ T [ a 1 + b 1 2 , b 1 ] , a 1 + b 1 2 ∉ T [a_2,b_2]:=\left\{\begin{array}{l} \left[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}\right],\frac{a_1+b_1}{2}\in T\\ \\ \left[\frac{a_1+b_1}{2},b_1\right],\frac{a_1+b_1}{2}\notin T\\ \end{array}\right. [a2,b2]:=⎩ ⎨ ⎧[a1,2a1+b1],2a1+b1∈T[2a1+b1,b1],2a1+b1∈/T
重复以上过程，可得闭区间套 { [ a n , b n ] } n ∈ N + \{[a_n,b_n]\}_{n\in\mathbb{N^+}} {[an,bn]}n∈N+，其中 a n ∉ T , b n ∈ T a_n\notin T,b_n\in T an∈/T,bn∈T，由闭区间套定理知
∃ ! ξ ∈ ⋂ n = 1 ∞ [ a n , b n ] , lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = ξ \exist !\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\ ,\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi ∃!ξ∈n=1⋂∞[an,bn] ,n→∞liman=n→∞limbn=ξ
若 ξ ∉ T \xi\notin T ξ∈/T，即非 S S S 上界，则 ∃ s 1 ∈ S , s . t . s 1 > ξ = lim n → ∞ b n \displaystyle\exist s_1\in S,\ \mathrm{s.t.}\ s_1>\xi=\lim_{n\to\infty}b_n ∃s1∈S, s.t. s1>ξ=n→∞limbn，与 b n ∈ T b_n\in T bn∈T 矛盾，故 ξ ∈ T \xi\in T ξ∈T 为 S S S 的上界；由 lim n → ∞ a n = ξ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\xi n→∞liman=ξ 有
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : ξ − ε < a n ∈ S \forall\varepsilon>0,\exist N\in\mathbb{N^+},\mathrm{s.t.}\ \forall n>N:\xi-\varepsilon<a_n\in S ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀n>N:ξ−ε<an∈S
由确界性质得 ξ = sup S \xi=\sup{S} ξ=supS，同理可证非空有下界数集必有下确界.
1.2 单调有界定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设 S S S 为非空有上界实数集，同上证法可得数列 { a n } ↑ < b 1 , { b n } ↓ > a 1 \{a_n\}\uparrow<b_1,\{b_n\}\downarrow>a_1 {an}↑<b1,{bn}↓>a1，且 lim n → ∞ ( b n − a n ) = lim n → ∞ b 1 − a 1 2 n − 1 = 0 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}=0 n→∞lim(bn−an)=n→∞lim2n−1b1−a1=0，由单调有界定理可知
lim n → ∞ a n = ξ ⇒ lim n → ∞ b n = lim n → ∞ [ ( b n − a n ) + a n ] = ξ \lim_{n\to\infty}a_n=\xi\Rightarrow\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}[(b_n-a_n)+a_n]=\xi n→∞liman=ξ⇒n→∞limbn=n→∞lim[(bn−an)+an]=ξ
后续同上证法.
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof: (单调有界原理+有理数稠密性)
1.3 柯西收敛原理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
同上方法可得 lim n → ∞ ( b n − a n ) = lim n → ∞ b 1 − a 1 2 n − 1 = 0 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}=0 n→∞lim(bn−an)=n→∞lim2n−1b1−a1=0，则由极限定义 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : ∣ b n − a n ∣ < ε \forall\varepsilon>0,\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n>N:|b_n-a_n|<\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀n>N:∣bn−an∣<ε
因 { a n } ↑ < { b n } \{a_n\}\uparrow<\{b_n\} {an}↑<{bn}，所以 ∣ a m − a n ∣ ⩽ ∣ b n − a n ∣ < ε |a_m-a_n|\leqslant |b_n-a_n|<\varepsilon ∣am−an∣⩽∣bn−an∣<ε
由 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 收敛准则 lim n → ∞ a n = ξ ⇒ lim n → ∞ b n = ξ \lim_{n\to\infty}a_n=\xi\Rightarrow\lim_{n\to\infty}b_n=\xi n→∞liman=ξ⇒n→∞limbn=ξ
后续同上证法.
1.4 致密性定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 有界，即 ∃ N ∈ N + , ∀ n > N : ∣ x n ∣ ⩽ M \exist N\in\N^+,\forall n>N:|x_n|\leqslant M ∃N∈N+,∀n>N:∣xn∣⩽M，构造数集 E = { x : { x n } E=\{x:\{x_n\} E={x:{xn} 内有无限项大于 x } x \} x}， x > M ⇒ E = ϕ x>M\Rightarrow E=\phi x>M⇒E=ϕ，故 E E E 有上界 M M M 且非空.
由 Bolzano-Weierstrass \text{Bolzano-Weierstrass} Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk} 收敛于 ξ \xi ξ， 即
lim k → ∞ x n k = ξ ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ K ∈ N + , s . t . ∀ k > K : ∣ x n k − ξ ∣ < ε \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\xi\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exist K\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall k>K:|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon k→∞limxnk=ξ⇔∀ε>0,∃K∈N+,s.t.∀k>K:∣xnk−ξ∣<ε
子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk} 中无限项大于 ξ − ε \xi-\varepsilon ξ−ε，有限项大于 ξ + ε \xi+\varepsilon ξ+ε，所以 ξ − ε ∈ E , ξ + ε ∉ E \xi-\varepsilon\in E,\xi+\varepsilon\notin E ξ−ε∈E,ξ+ε∈/E，于是 ∀ x ∈ E : x < ξ + ε ⇒ x ⩽ ξ \forall x\in E:x<\xi+\varepsilon \Rightarrow x\leqslant \xi ∀x∈E:x<ξ+ε⇒x⩽ξ，从而由确界性质有 ξ = sup E \xi=\sup E ξ=supE
1.5 有限覆盖定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设 M M M 为非空有上界实数集 A A A 的上界，若 A A A 存在最大值，则 max A = sup A \max A=\sup A maxA=supA，成立；若 A A A 不存在最大值，考虑反证：假设 sup A \sup A supA 不存在.
∀ a ∈ A : a < M \forall a\in A:a<M ∀a∈A:a<M，设 x ∈ [ a , M ] x\in[a,M] x∈[a,M]：
(1) x x x 是 A A A 的上界：确界不存在，故 x x x 非 A A A 最小上界， ∃ x > x ′ > A \exist x>x'>A ∃x>x′>A，取 δ = x − x ′ \delta=x-x' δ=x−x′，得到邻域 U ( x , δ ) = ( x ′ , 2 x − x ′ ) U(x,\delta)=(x',2x-x') U(x,δ)=(x′,2x−x′) 中任意元素皆为上界；
(2) x x x 非 A A A 的上界： ∃ x ′ ∈ A , s . t . x ′ > x \exist x'\in A,\mathrm{s.t.}\ x'>x ∃x′∈A,s.t. x′>x，取 δ = x ′ − x \delta=x'-x δ=x′−x，有邻域 U ( x , δ ) = ( 2 x − x ′ , x ′ ) U(x,\delta)=(2x-x',x') U(x,δ)=(2x−x′,x′) 中任意元素皆非上界；
以上情形可得 [ a , M ] [a,M] [a,M] 的一组开覆盖 { U ( x k , δ k ) } k ∈ Λ \{U(x_k,\delta_k)\}_{k\in\Lambda} {U(xk,δk)}k∈Λ，由 Heine-Borel \text{Heine-Borel} Heine-Borel 定理，可以选取有限开区间使得
[ a , M ] ⊆ ⋃ k = 1 n U ( x k , δ k ) [a,M]\subseteq\bigcup_{k=1}^n U(x_k,\delta_k) [a,M]⊆k=1⋃nU(xk,δk)
不妨设 U ( x 1 , δ 1 ) U(x_1,\delta_1) U(x1,δ1) 内皆非上界，因 U ( x 1 , δ 1 ) ∩ U ( x 2 , δ 2 ) ≠ ϕ U(x_1,\delta_1)\cap U(x_2,\delta_2)\ne\phi U(x1,δ1)∩U(x2,δ2)=ϕ，所以 U ( x 2 , δ 2 ) U(x_2,\delta_2) U(x2,δ2) 内亦皆非上界，以此类推， U ( x n , δ n ) U(x_n,\delta_n) U(xn,δn) 内皆非上界，由于 M M M 为上界，故产生矛盾，假设不成立.
2 单调有界原理
Theorem \textbf{Theorem} Theorem 单调有界原理
单调有界数列必然收敛.
2.1 确界存在原理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
不妨设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 单调递增有上界，据确界存在原理可知， { x n } \{x_n\} {xn} 必有上确界，记 β = sup x n \beta=\sup x_n β=supxn
由上确界性质有
∀ n ∈ N + : x n ⩽ β ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : β − ε < x n \forall n\in\N^+:x_n\leqslant\beta\ \\\forall \varepsilon>0,\exists N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\ \forall n>N:\beta-\varepsilon <x_n ∀n∈N+:xn⩽β ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀n>N:β−ε<xn
则 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : \forall \varepsilon>0,\exists N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\ \forall n>N: ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀n>N:
β − ε < x n ⩽ β < β + ε ⇒ ∣ x n − β ∣ < ε \beta-\varepsilon<x_n\leqslant \beta<\beta+\varepsilon\Rightarrow|x_n-\beta|<\varepsilon β−ε<xn⩽β<β+ε⇒∣xn−β∣<ε
即
lim n → ∞ x n = β = sup x n \lim_{n\to\infty}x_n=\beta=\sup x_n n→∞limxn=β=supxn
2.2 柯西收敛原理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
不妨设 { x n } \{x_n\} {xn} 单调递增有上界，假设数列发散，则由 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 收敛准则可知
∃ ε > 0 , ∀ N ∈ N + , ∃ m > n > N , ∣ x m − x n ∣ = x m − x n > ε \exists \varepsilon>0,\forall N\in\N^+,\exist m>n>N,|x_m-x_n|=x_m-x_n>\varepsilon ∃ε>0,∀N∈N+,∃m>n>N,∣xm−xn∣=xm−xn>ε
可以找到一个子列，满足
∃ n 2 > n 1 > N 1 = 1 , x n 2 − x n 1 > ε ∃ n 3 > n 2 > N 2 = n 1 , x n 3 − x n 2 > ε ⋯ ∃ n k + 1 > n k > N k = n k − 1 , x n k + 1 − x n k > ε \begin{aligned} &\exist n_2>n_1>N_1=1\ ,x_{n_2}-x_{n_1}>\varepsilon \\&\exist n_3>n_2>N_2=n_1\ ,x_{n_3}-x_{n_2}>\varepsilon \\&\qquad\cdots \\&\exist n_{k+1}>n_k>N_k=n_{k-1},x_{n_{k+1}}-x_{n_k}>\varepsilon \end{aligned} ∃n2>n1>N1=1 ,xn2−xn1>ε∃n3>n2>N2=n1 ,xn3−xn2>ε⋯∃nk+1>nk>Nk=nk−1,xnk+1−xnk>ε
上式累加有
x n k + 1 − x n 1 = ( x n k + 1 − x n k ) + ⋯ + ( x n 2 − x n 1 ) > k ε x_{n_{k+1}}-x_{n_1}=(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})+\cdots+(x_{n_2}-x_{n_1})>k\varepsilon xnk+1−xn1=(xnk+1−xnk)+⋯+(xn2−xn1)>kε
当 k → + ∞ k\to+\infty k→+∞ 时，有 x n k + 1 → + ∞ x_{n_{k+1}}\to+\infty xnk+1→+∞，与 { x n } \{x_n\} {xn} 存在上界矛盾.
2.3 致密性定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
不妨设 { x n } \{x_n\} {xn} 单调递增有上界，由 Bolzano -Weierstrass \text{Bolzano -Weierstrass} Bolzano -Weierstrass 定理可知，存在子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk} 收敛于 ξ \xi ξ，则
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n k > N : ∣ x n k − ξ ∣ < ε ⇔ ξ − ε < x n k < ξ + ε \forall \varepsilon>0,\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\ \forall n_k>N:|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon \Leftrightarrow \xi-\varepsilon<x_{n_k}<\xi+\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀nk>N:∣xnk−ξ∣<ε⇔ξ−ε<xnk<ξ+ε
且一定存在 n m ⩽ n n_m\leqslant n nm⩽n，又因子列抽取原则有 n ⩽ n n n\leqslant n_n n⩽nn，故由 { x n } ↑ \{x_n\}\uparrow {xn}↑ 可知
ξ − ε < x n m ⩽ x n ⩽ x n n < ξ + ε \xi-\varepsilon<x_{n_m}\leqslant x_n \leqslant x_{n_n}<\xi+\varepsilon ξ−ε<xnm⩽xn⩽xnn<ξ+ε
由迫敛性准则有，数列 { x n } \{x_n\} {xn} 收敛于 ξ \xi ξ.
2.4 闭区间套定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
不妨设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 单调递增有上界 b 1 b_1 b1，任取数列中一项记为 a 1 a_1 a1，则 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1] 中必然含数列无穷多项，等分区间并记其中含数列无穷项区间为 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2]，重复以上过程，可得一列闭区间套 { [ a n , b n ] } n ∈ N + \{[a_n,b_n]\}_{n\in\N^+} {[an,bn]}n∈N+，则
lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ N 1 ∈ N + , s . t . ∀ n > N 1 : ∣ b n − a n ∣ < ε \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exist N_1\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n>N_1:|b_n-a_n|<\varepsilon n→∞lim(bn−an)=0⇔∀ε>0,∃N1∈N+,s.t.∀n>N1:∣bn−an∣<ε
由闭区间套定理
∃ ! ξ ∈ ⋂ n = 1 ∞ [ a n , b n ] \exist!\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] ∃!ξ∈n=1⋂∞[an,bn]
且
∃ N 2 ∈ N + , s . t . ∀ n > N 2 : x n ∈ [ a n , b n ] \exist N_2\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n>N_2:x_n\in[a_n,b_n] ∃N2∈N+,s.t.∀n>N2:xn∈[an,bn]
取 N = max { N 1 , N 2 } N=\max\{N_1,N_2\} N=max{N1,N2}，故有
∀ n > N 2 : ∣ x n − ξ ∣ < ∣ b n − a n ∣ < ε \forall n>N_2:|x_n-\xi|<|b_n-a_n|<\varepsilon ∀n>N2:∣xn−ξ∣<∣bn−an∣<ε
即 lim n → ∞ x n = ξ \lim_{n\to\infty}x_n=\xi n→∞limxn=ξ
2.5 有限覆盖定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 单调递增有上界 M M M，若数列有最大值，则收敛，定理得证.
考虑反证：假设数列无最大值，则发散， ∀ m ∈ N + : x m < M \forall m\in\N^+:x_m<M ∀m∈N+:xm<M，构造 [ x m , M ] [x_m,M] [xm,M] 的开覆盖.
设 x ∈ [ x m , M ] x\in[x_m,M] x∈[xm,M]
若 x x x 非 { x n } \{x_n\} {xn} 上界： ∃ n ′ ∈ N + , s . t . x n ′ > x \exist n'\in\N^+,\mathrm{s.t.}\ x_{n'}>x ∃n′∈N+,s.t. xn′>x，取 δ = x n ′ − x \delta=x_{n'}-x δ=xn′−x，得到邻域 U ( x , δ ) = ( 2 x − x n ′ , x n ′ ) U(x,\delta)=(2x-x_{n'},x_{n'}) U(x,δ)=(2x−xn′,xn′) 内皆非上界；
若 x x x 是 { x n } \{x_n\} {xn} 上界：由于数列极限不存在，所以存在不含数列任何项的邻域，即 ∃ δ > 0 , s . t . ∀ n ∈ N + : x n ∉ U ( x , δ ) \exist\delta>0,\mathrm{s.t.}\ \forall n\in\N^+:x_n\notin U(x,\delta) ∃δ>0,s.t. ∀n∈N+:xn∈/U(x,δ)，邻域内皆为上界；
以上情形可得一族无限开覆盖
[ x m , M ] ⊆ { U ( x k , δ k ) } k ∈ Λ [x_m,M]\subseteq\{U(x_k,\delta_k)\}_{k\in\Lambda} [xm,M]⊆{U(xk,δk)}k∈Λ
由 Heine-Borel \text{Heine-Borel} Heine-Borel 有限覆盖定理，可从中选取有限子区间使得
[ x m , M ] ⊆ ⋃ k = 1 n U ( x k , δ k ) [x_m,M]\subseteq \bigcup\limits_{k=1}^nU(x_k,\delta_k) [xm,M]⊆k=1⋃nU(xk,δk).
不妨设 U ( x 1 , δ 1 ) U(x_1,\delta_1) U(x1,δ1) 内皆非上界，因 U ( x 1 , δ 1 ) ∩ U ( x 2 , δ 2 ) ≠ ϕ U(x_1,\delta_1)\cap U(x_2,\delta_2)\ne\phi U(x1,δ1)∩U(x2,δ2)=ϕ，所以 U ( x 2 , δ 2 ) U(x_2,\delta_2) U(x2,δ2) 内亦皆非上界，以此类推， U ( x n , δ n ) U(x_n,\delta_n) U(xn,δn) 内皆非上界，由于 M M M 为上界，故产生矛盾，假设不成立.
3 Cauchy收敛原理
Theorem \textbf{Theorem} Theorem Cauchy \ \text{Cauchy} Cauchy 收敛原理
{ x n } \{x_n\} {xn} 收敛 ⇔ { x n } \Leftrightarrow\{x_n\} ⇔{xn} 为 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 基本列，即 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N : ∣ x n − x m ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N^+},\mathrm{s.t.}\forall m,n>N:|x_n-x_m|<\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀m,n>N:∣xn−xm∣<ε
3.1 致密性定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
必要性： 设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 收敛于 x x x，由极限定义
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N : ∣ x m − x ∣ < ε 2 , ∣ x n − x ∣ < ε 2 \forall \varepsilon>0,\exists N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall m,n>N:|x_m-x|<\frac{\varepsilon}{2},|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2} ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀m,n>N:∣xm−x∣<2ε,∣xn−x∣<2ε
则有
∣ x m − x n ∣ = ∣ ( x m − x ) − ( x n − x ) ∣ ⩽ ∣ x m − x ∣ + ∣ x n − x ∣ < ε |x_m-x_n|=|(x_m-x)-(x_n-x)|\leqslant |x_m-x|+|x_n-x|<\varepsilon ∣xm−xn∣=∣(xm−x)−(xn−x)∣⩽∣xm−x∣+∣xn−x∣<ε
存在性： 先证数列有界， { x n } \{x_n\} {xn} 为柯西列，则 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N : ∣ x n − x m ∣ < ε ⇔ x m − ε < x n < x m + ε \forall \varepsilon>0,\exists N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall m,n>N:|x_n-x_m|<\varepsilon\Leftrightarrow x_m-\varepsilon<x_n<x_m+\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀m,n>N:∣xn−xm∣<ε⇔xm−ε<xn<xm+ε
取 M = max { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , ⋯ , ∣ x n − 1 ∣ ; ∣ x m + ε ∣ , ∣ x m − ε ∣ } M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_{n-1}|;|x_m+\varepsilon|,|x_m-\varepsilon|\} M=max{∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xn−1∣;∣xm+ε∣,∣xm−ε∣}，则 ∀ n ∈ N + : ∣ x n ∣ ⩽ M \forall n\in\N^+:|x_n|\leqslant M ∀n∈N+:∣xn∣⩽M
故数列有界，则由 Bolzano -Weierstrass \text{Bolzano -Weierstrass} Bolzano -Weierstrass 定理， { x n } \{x_n\} {xn} 存在子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk} 收敛于 ξ \xi ξ，即
∀ ε 1 > 0 , ∃ N 1 ∈ N + , s . t . ∀ n k > N 1 : ∣ x n k − ξ ∣ < ε 1 \forall \varepsilon_1>0,\exists N_1\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n_k>N_1:|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon_1 ∀ε1>0,∃N1∈N+,s.t.∀nk>N1:∣xnk−ξ∣<ε1
取 x m = x n k x_m=x_{n_k} xm=xnk，有
∀ ε 2 > 0 , ∃ N 2 ∈ N + , s . t . ∀ n , n k > N 2 : ∣ x n − x n k ∣ < ε 2 \forall \varepsilon_2>0,\exists N_2\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n,n_k>N_2:|x_n-x_{n_k}|<\varepsilon_2 ∀ε2>0,∃N2∈N+,s.t.∀n,nk>N2:∣xn−xnk∣<ε2
取 N 3 = max { N 1 , N 2 } N_3=\max\{N_1,N_2\} N3=max{N1,N2}，则 n k , n > N 3 n_k,n>N_3 nk,n>N3 时
∣ x n − ξ ∣ = ∣ ( x n − x n k ) + ( x n k − ξ ) ∣ = ∣ x n − x n k ∣ + ∣ x n k − ξ ∣ < ε 1 + ε 2 = ε 3 |x_n-\xi|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-\xi)|=|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon_3 ∣xn−ξ∣=∣(xn−xnk)+(xnk−ξ)∣=∣xn−xnk∣+∣xnk−ξ∣<ε1+ε2=ε3
故数列收敛.
3.2 单调有界原理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
必要性： 同上
充分性： 设 { x n } \{x_n\} {xn} 为 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 基本列，则
∀ ε > 0 , ∃ N 1 ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N 1 : ∣ x m − x n ∣ < ε 2 \forall\varepsilon>0,\exist N_1\in\mathbb{N^+},\mathrm{s.t.}\forall m,n>N_1:|x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2} ∀ε>0,∃N1∈N+,s.t.∀m,n>N1:∣xm−xn∣<2ε
则数列有界，任意实数列皆存在单调子列，取一个单调子列记为 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk}，由单调有界原理，子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk} 收敛于 ξ \xi ξ，即
lim k → ∞ x n k = ξ ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ N 2 ∈ N + , s . t . ∀ k > N 2 : ∣ x n k − ξ ∣ < ε 2 \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\xi\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exist N_2\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall k>N_2:|x_{n_k}-\xi|<\frac{\varepsilon}{2} k→∞limxnk=ξ⇔∀ε>0,∃N2∈N+,s.t.∀k>N2:∣xnk−ξ∣<2ε
取 N 3 = max { N 1 , N 2 } N_3=\max\{N_1,N_2\} N3=max{N1,N2}，则
∀ n k , n > N : ∣ x n − ξ ∣ ⩽ ∣ x n − x n k ∣ + ∣ x n k − ξ ∣ < ε \forall n_k,n>N:|x_n-\xi|\leqslant|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon ∀nk,n>N:∣xn−ξ∣⩽∣xn−xnk∣+∣xnk−ξ∣<ε
3.3 确界存在原理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
必要性： 同上
充分性： 构造数集 E = { x : ( − ∞ , x ) ∩ { x n } E=\{x:(-\infty,x)\cap\{x_n\} E={x:(−∞,x)∩{xn} 为空集 或 含数列中的有限项 } \} }，因 { x n } \{x_n\} {xn} 为柯西列，所以有界(证明见其他证法)，数列上界亦为 E E E 的上界，由确界存在原理 ξ = sup E \xi=\sup E ξ=supE
∀ ε > 0 : ( − ∞ , ξ + ε ) \forall\varepsilon>0:(-\infty,\xi+\varepsilon) ∀ε>0:(−∞,ξ+ε) 含无限项， ∃ η ∈ E , s . t . ξ − ε < η , ( − ∞ , η ) \exist\eta\in E,\mathrm{s.t.}\ \xi-\varepsilon<\eta,(-\infty,\eta) ∃η∈E,s.t. ξ−ε<η,(−∞,η) 含有限项，则 ( − ∞ , ξ − ε ) ⊆ ( − ∞ , η ) (-\infty,\xi-\varepsilon)\subseteq(-\infty,\eta) (−∞,ξ−ε)⊆(−∞,η) 含有限项，于是有 ( ξ − ε , ξ + ε ) (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon) (ξ−ε,ξ+ε) 含无限项，取一个子列 { x n k } ⊆ ( ξ − ε , ξ + ε ) \{x_{n_k}\}\subseteq(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon) {xnk}⊆(ξ−ε,ξ+ε)，则 ∣ x n k − ξ ∣ < ε 2 |x_{n_k}-\xi|<\frac{\varepsilon}{2} ∣xnk−ξ∣<2ε
故 ∣ x n − ξ ∣ ⩽ ∣ x n − x n k ∣ + ∣ x n k − ξ ∣ < ε |x_n-\xi|\leqslant|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-\xi|<\varepsilon ∣xn−ξ∣⩽∣xn−xnk∣+∣xnk−ξ∣<ε
3.4 闭区间套定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
必要性： 同上
充分性： 设 { x n } \{x_n\} {xn} 为 Cauchy 基本列，则
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N : ∣ x m − x n ∣ < ε ⇒ x n ∈ [ x m − ε , x m + ε ] \forall\varepsilon>0,\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall m,n>N:|x_m-x_n|<\varepsilon\Rightarrow x_n\in[x_m-\varepsilon,x_m+\varepsilon] ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀m,n>N:∣xm−xn∣<ε⇒xn∈[xm−ε,xm+ε]
取 ε 1 = 1 2 \varepsilon_1=\frac{1}{2} ε1=21 ∃ N 1 ∈ N + , ∀ m 1 > N 1 : x n ∈ [ x m 1 − 1 2 , x m 1 + 1 2 ] = : [ a 1 , b 2 ] \exist N_1\in\N^+,\forall m_1>N_1:x_n\in[x_{m_1}-\frac{1}{2},x_{m_1}+\frac{1}{2}]=:[a_1,b_2] ∃N1∈N+,∀m1>N1:xn∈[xm1−21,xm1+21]=:[a1,b2]
取 ε 2 = 1 2 2 \varepsilon_2=\frac{1}{2^2} ε2=221 ∀ m 2 > m 1 : x n ∈ [ x m 2 − 1 2 2 , x m 2 + 1 2 2 ] \forall m_2>m_1:x_n\in[x_{m_2}-\frac{1}{2^2},x_{m_2}+\frac{1}{2^2}] ∀m2>m1:xn∈[xm2−221,xm2+221]
记 [ a 2 , b 2 ] : = [ x m 2 − 1 2 2 , x m 2 + 1 2 2 ] ∩ [ a 1 , b 1 ] [a_2,b_2]:=[x_{m_2}-\frac{1}{2^2},x_{m_2}+\frac{1}{2^2}]\cap[a_1,b_1] [a2,b2]:=[xm2−221,xm2+221]∩[a1,b1]，重复以上过程，取 ε k = 1 2 k \varepsilon_k=\frac{1}{2^k} εk=2k1，则 ∀ m k > m k − 1 : x n ∈ [ x m k − 1 2 k , x m k + 1 2 k ] \forall m_k>m_{k-1}:x_n\in[x_{m_k}-\frac{1}{2^k},x_{m_k}+\frac{1}{2^k}] ∀mk>mk−1:xn∈[xmk−2k1,xmk+2k1]
记 [ a k , b k ] : = [ x m k − 1 2 k , x m k + 1 2 k ] ∩ [ a k − 1 , b k − 1 ] [a_k,b_k]:=[x_{m_k}-\frac{1}{2^k},x_{m_k}+\frac{1}{2^k}]\cap[a_{k-1},b_{k-1}] [ak,bk]:=[xmk−2k1,xmk+2k1]∩[ak−1,bk−1]，可得一列闭区间套 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an,bn]}，由闭区间套定理
∃ ! ξ ∈ [ a n , b n ] n ∈ N + , lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = ξ \exist!\xi\in[a_n,b_n]_{n\in\N^+}\ ,\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi ∃!ξ∈[an,bn]n∈N+ , n→∞liman=n→∞limbn=ξ
则
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ n > N : ξ − ε < a n < x n < b n < ξ + ε ⇒ ∣ x n − ξ ∣ < ε \forall\varepsilon>0,\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\forall n>N:\xi-\varepsilon<a_n<x_n<b_n<\xi+\varepsilon\Rightarrow |x_n-\xi|<\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t.∀n>N:ξ−ε<an<xn<bn<ξ+ε⇒∣xn−ξ∣<ε
故数列收敛.
3.5 有限覆盖定理
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
设数列 { x n } \{x_n\} {xn} 是一个 Cauchy \text{Cauchy} Cauchy 基本列，则
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , s . t . ∀ m , n > N : ∣ x n − x m ∣ < ε \forall\varepsilon>0,\exist N\in\N^+,\mathrm{s.t.}\ \forall m,n>N:|x_n-x_m|<\varepsilon ∀ε>0,∃N∈N+,s.t. ∀m,n>N:∣xn−xm∣<ε
所以数列有界(详见其他证法)，于是
∀ n ∈ N + : ∣ x n ∣ ⩽ M ⇒ x n ∈ [ − M , M ] \forall n\in\N^+:|x_n|\leqslant M\Rightarrow x_n\in[-M,M] ∀n∈N+:∣xn∣⩽M⇒xn∈[−M,M]
考虑反证：假设任意子列不收敛，则 ∀ x ∈ [ − M , M ] : x \forall x\in[-M,M]:x ∀x∈[−M,M]:x 均非收敛点，所以 ∃ δ > 0 , s . t . U ( x , δ ) \exist\delta>0,\rm{s.t.}\ U(x,\delta) ∃δ>0,s.t. U(x,δ) 含数列有限项，可得一组无限开覆盖，由 Heine-Borel \text{Heine-Borel} Heine-Borel 定理，从无限开覆盖中可以取得有限子覆盖，即
[ − M , M ] ⊆ ⋃ k = 1 n U ( x k , δ k ) [-M,M]\subseteq\bigcup_{k=1}^nU(x_k,\delta_k) [−M,M]⊆k=1⋃nU(xk,δk)
因此 [ − M , M ] [-M,M] [−M,M] 含有限元素，故数列仅含有限项，矛盾.
实数完备性定理互证2
