1. **歐幾里得空間的基本概念**：
設 \(V\) 是實數域 \(\mathbb{R}\) 上的綫性空間，對於 \(V\) 中任意兩個矢量 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，都有一個確定的實數 \((\alpha,\beta)\) 與之對應，稱為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 的內積，且滿足以下性質：
\((\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\)（對稱性）。
\((k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)\)，\(k\in\mathbb{R}\)（數乘性）。
\((\alpha + \beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)\)，\(\gamma\in V\)（線性性）。
\((\alpha,\alpha)\geq0\)，且 \((\alpha,\alpha)=0\) 當且僅當 \(\alpha = 0\)（正定性）。
這樣的綫性空間 \(V\) 稱為歐幾里得空間。
2. **內積運算及相關性質**：
矢量 \(\alpha\) 的長度（模）定義為 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)。
兩個非零矢量 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的夾角 \(\theta\) 定義為 \(\cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{\vert\alpha\vert\vert\beta\vert}\)。
若 \((\alpha,\beta)=0\)，則稱 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交，記作 \(\alpha\perp\beta\)。
3. **正規正交基的構造**：
若歐幾里得空間 \(V\) 的一組基 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 滿足 \((\alpha_i,\alpha_j)=0\)（\(i\neq j\)）且 \((\alpha_i,\alpha_i)=1\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），則稱這組基為正規正交基。
施密特正交化方法：設 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 是歐幾里得空間 \(V\) 的一組基，令 - \(\alpha_1=\beta_1\)； - \(\alpha_2=\beta_2-\frac{(\beta_2,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1\)；
\(\alpha_3=\beta_3-\frac{(\beta_3,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1-\frac{(\beta_3,\alpha_2)}{(\alpha_2,\alpha_2)}\alpha_2\)；
\(\cdots\) - \(\alpha_n=\beta_n-\sum_{i = 1}^{n - 1}\frac{(\beta_n,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)}\alpha_i\)。
然後將 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 單位化，即 \(\eta_i=\frac{\alpha_i}{\vert\alpha_i\vert}\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），得到正規正交基 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\)。
**例題解析**：
1. 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，定義內積 \((\alpha,\beta)=x_1y_1 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3\)，其中 \(\alpha=(x_1,x_2,x_3)\)，\(\beta=(y_1,y_2,y_3)\)，求矢量 \(\alpha=(1,1,1)\) 的長度。
解：
根據矢量長度定義 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)，則 \((\alpha,\alpha)=1\times1 + 2\times1\times1 + 3\times1\times1 = 1 + 2 + 3 = 6\)。
所以 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{6}\)。
2. 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，定義內積如例 1 所述，求矢量 \(\alpha=(1,1,1)\) 與 \(\beta=(1, - 1,0)\) 的夾角 \(\theta\) 的餘弦值。
解：
先求 \((\alpha,\beta)=1\times1 + 2\times1\times(-1) + 3\times1\times0 = 1 - 2 + 0 = -1\)。 - 由例 1 知 \(\vert\alpha\vert=\sqrt{6}\)，\((\beta,\beta)=1\times1 + 2\times(-1)\times(-1) + 3\times0\times0 = 1 + 2 + 0 = 3\)，則 \(\vert\beta\vert=\sqrt{3}\)。
根据夾角定義 \(\cos\theta=\frac{(\alpha,\beta)}{\vert\alpha\vert\vert\beta\vert}=\frac{-1}{\sqrt{6}\times\sqrt{3}}=-\frac{1}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}\)。
3. 判斷在 \(\mathbb{R}^3\) 中，矢量 \(\alpha=(1,2, - 1)\) 與 \(\beta=(2, - 1,0)\) 是否正交（內積定義同例 1）。
解：
計算 \((\alpha,\beta)=1\times2 + 2\times2\times(-1) + 3\times(-1)\times0 = 2 - 4 + 0 = -2\neq0\)。 - 所以 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 不正交。
4. 已知在 \(\mathbb{R}^3\) 中一組基 \(\beta_1=(1,1,0)\)，\(\beta_2=(1,0,1)\)，\(\beta_3=(0,1,1)\)，利用施密特正交化方法求一組正交基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)。
解：
\(\alpha_1=\beta_1=(1,1,0)\)。
\((\beta_2,\alpha_1)=1\times1 + 2\times0\times1 + 3\times1\times0 = 1\)，\((\alpha_1,\alpha_1)=1\times1 + 2\times1\times1 + 3\times0\times0 = 3\)，則 \(\alpha_2=\beta_2-\frac{(\beta_2,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1=(1,0,1)-\frac{1}{3}(1,1,0)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1)\)。
\((\beta_3,\alpha_1)=1\times0 + 2\times1\times1 + 3\times1\times0 = 2\)，\((\beta_3,\alpha_2)=0\times\frac{2}{3}+2\times1\times(-\frac{1}{3})+3\times1\times1=\frac{7}{3}\)，\((\alpha_2,\alpha_2)=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+3=\frac{32}{9}\)，則 \(\alpha_3=\beta_3-\frac{(\beta_3,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1-\frac{(\beta_3,\alpha_2)}{(\alpha_2,\alpha_2)}\alpha_2=(0,1,1)-\frac{2}{3}(1,1,0)-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{32}{9}}(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1)=(0,1,1)-(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0)-(\frac{7}{16},-\frac{7}{48},\frac{7}{16})=(-\frac{5}{16},\frac{25}{48},\frac{9}{16})\)。
所以正交基為 \(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1)\)，\(\alpha_3=(-\frac{5}{16},\frac{25}{48},\frac{9}{16})\)。
5. 將例 4 中得到的正交基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 單位化，求正規正交基 \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\)。
解：
\(\vert\alpha_1\vert=\sqrt{(\alpha_1,\alpha_1)}=\sqrt{3}\)，則 \(\eta_1=\frac{\alpha_1}{\vert\alpha_1\vert}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},0)\)。
\(\vert\alpha_2\vert=\sqrt{(\alpha_2,\alpha_2)}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)，則 \(\eta_2=\frac{\alpha_2}{\vert\alpha_2\vert}=(\frac{1}{2\sqrt{2}},-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{3}{4\sqrt{2}})\)。
\(\vert\alpha_3\vert=\sqrt{(-\frac{5}{16})^2+(\frac{25}{48})^2+(\frac{9}{16})^2}=\sqrt{\frac{25}{256}+\frac{625}{2304}+\frac{81}{256}}=\frac{\sqrt{10}}{4}\)，則 \(\eta_3=\frac{\alpha_3}{\vert\alpha_3\vert}=(-\frac{\sqrt{10}}{8},\frac{5\sqrt{10}}{48},\frac{9\sqrt{10}}{80})\)。
所以正規正交基為 \(\eta_1=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},0)\)，\(\eta_2=(\frac{1}{2\sqrt{2}},-\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{3}{4\sqrt{2}})\)，\(\eta_3=(-\frac{\sqrt{10}}{8},\frac{5\sqrt{10}}{48},\frac{9\sqrt{10}}{80})\)。
6. 在歐幾里得空間 \(\mathbb{R}^4\) 中，定義內積 \((\alpha,\beta)=x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4\)，求矢量 \(\alpha=(1, - 1,2,0)\) 與 \(\beta=(2,1,0, - 1)\) 的內積。
解：
根据內積定義 \((\alpha,\beta)=1\times2 + (-1)\times1 + 2\times0 + 0\times(-1)=2 - 1 + 0 + 0 = 1\)。
7. 已知在某歐幾里得空間中，矢量 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交，且 \(\vert\alpha\vert = 3\)，\(\vert\beta\vert = 4\)，求 \(\vert\alpha + \beta\vert\)。
解：
根据公式 \(\vert\alpha + \beta\vert^2=(\alpha + \beta,\alpha + \beta)=(\alpha,\alpha)+2(\alpha,\beta)+(\beta,\beta)\)。
因為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交，所以 \((\alpha,\beta)=0\)，又 \((\alpha,\alpha)=\vert\alpha\vert^2 = 9\)，\((\beta,\beta)=\vert\beta\vert^2 = 16\)。
則 \(\vert\alpha + \beta\vert^2=9 + 0 + 16 = 25\)，所以 \(\vert\alpha + \beta\vert = 5\)。
8. 證明在歐幾里得空間中，若 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交，\(\alpha\) 與 \(\gamma\) 正交，則 \(\alpha\) 與 \(k\beta + l\gamma\) 正交（\(k,l\in\mathbb{R}\)）。
證明： - 計算 \((\alpha,k\beta + l\gamma)=(\alpha,k\beta)+(\alpha,l\gamma)=k(\alpha,\beta)+l(\alpha,\gamma)\)。
因為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 正交，\(\alpha\) 與 \(\gamma\) 正交，所以 \((\alpha,\beta)=0\)，\((\alpha,\gamma)=0\)。
則 \((\alpha,k\beta + l\gamma)=k\times0 + l\times0 = 0\)，所以 \(\alpha\) 與 \(k\beta + l\gamma\) 正交。
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