【机器学习】 16. 降维：PCA-主成分分析 Principle Component Analysis

1. 高维会有什么问题？

1. 慢的训练
2. 不可靠的分类
3. 过度拟合
4. 构建可解释的模型是不可能的
5. 可视化的问题
6. 并不是所有的变量都很重要。

2. PCA

1. PCA是最流行的降维方法
2. 通常称为特征投影法。
3. 其主要思想是找到一组新的维度，并将数据投射到其中。
   -更小的维度，捕捉数据的本质

主要思路：给定N个具有维度（m个特征）的例子
求：m个相互正交的新轴，使var(Z1) > var（Z2）…> var（Zm）
主分量是定义新坐标系的向量。
它们是根据它们捕获的方差来排序的
每个主成分都是原始特征的线性组合. 第一个主成分是使得数据方差最大的方向, 第二个主成分是与第一个主成分正交的条件下, 方差最大的方向, 依此类推…

确定降维数量

1. 最小方差百分比
2. 肘部法, Elbow Method. 绘制主成分的数量和累积方差图, 通常会在曲线上出现一个"肘点"

确定主成分

通过奇异值分解, Singular Value Decomposition, SVD确定PC. 它是一种标准的矩阵分解方法, 能够进行坐标系的变换
n x m的矩阵X可以分解成3个矩阵乘积：
$$X=U\ast \Lambda \ast V^T$$
U 是n x m的正交矩阵
（数据在新坐标系中的新坐标）（左奇异向量空间）

V^T是m x m正交矩阵V的转置
（右奇异向量空间）
Λ是一个m x m的对角矩阵包括奇异值
（在新坐标系中的尺度变化）