【第二章 习题6】
令 E ′ E^{'} E′是集 E E E的一切极限点的集。证明 E ′ E^{'} E′是闭集。证明 E E E与 E ‾ \overline{E} E有相同的极限点（回想 E ‾ = E ∪ E ′ \overline{E} = E \cup E^{'} E=E∪E′）。 E E E与 E ′ E^{'} E′是否总有相同的极限点呢？
【证明】
- 证明 E ′ E^{'} E′是闭集
对于 E ′ E^{'} E′的任意极限点 e ′ ′ e^{''} e′′，对于任意的邻域半径 r 2 > 0 \frac{r}{2} > 0 2r>0，总有
∃ e ′ ∈ E ′ ( ∣ e ′ ′ − e ′ ∣ < r 2 ) \exists e^{'} \in E^{'}\left( \left| e^{''} - e^{'} \right| < \frac{r}{2} \right) ∃e′∈E′( e′′−e′ <2r)
由于 e ′ ∈ E ′ e^{'} \in E^{'} e′∈E′，所以 e ′ e^{'} e′是集 E E E的极限点，也就是对于邻域半径 r 2 \frac{r}{2} 2r，总有
∃ e ∈ E ( ∣ e ′ − e ∣ < r 2 ) \exists e \in E\left( \left| e^{'} - e \right| < \frac{r}{2} \right) ∃e∈E( e′−e <2r)
综合这两个不等式可得
∃ e ′ ∈ E ′ , e ∈ E ( ∣ e ′ ′ − e ∣ ≤ ∣ e ′ ′ − e ′ ∣ + ∣ e ′ − e ∣ < r ) \exists e^{'} \in E^{'},e \in E\left( \left| e^{''} - e \right| \leq \left| e^{''} - e^{'} \right| + \left| e^{'} - e \right| < r \right) ∃e′∈E′,e∈E( e′′−e ≤ e′′−e′ + e′−e <r)
即
∃ e ∈ E ( ∣ e ′ ′ − e ∣ < r ) \exists e \in E\left( \left| e^{''} - e \right| < r \right) ∃e∈E( e′′−e <r)
这就是说 e ′ ′ e^{''} e′′是集 E E E的极限点，而 E ′ E^{'} E′是集 E E E的一切极限点的集，所以
e ′ ′ ∈ E ′ e^{''} \in E^{'} e′′∈E′
即 E ′ E^{'} E′一定是闭集。
- 证明 E E E与 E ‾ \overline{E} E有相同的极限点
首先， E E E的极限点必是 E ‾ \overline{E} E的极限点。
由于 E ‾ \overline{E} E是两个集合的并集，所以 E ‾ \overline{\mathbf{E}} E的极限点是 E \mathbf{E} E的极限点或者 E ′ \mathbf{E}^{\mathbf{'}} E′的极限点（结合并集特点，利用反证法可知）。根据1的结论， E ′ E^{'} E′的极限点都是集 E E E的极限点，所以 E ‾ \overline{E} E的极限点是 E E E的极限点。
综上可得， E E E与 E ‾ \overline{E} E有相同的极限点
- E E E与 E ′ E^{'} E′并不一定有相同的极限点
设
E = { 1 n ∣ n ∈ N + } E = \left\{ \frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}^{+} \right\} E={n1∣n∈N+}
则 E E E的极限点是 0 0 0，但 E ′ = { 0 } E^{'} = \left\{ 0 \right\} E′={0}，没有极限点，只有一个孤立点。
