先滤波再降采样 还是 先降采样再滤波

最近在处理信号时突然想到一个问题“先滤波再降采样 还是 先降采样再滤波”，这里学习并记录一下，方便以后查阅。

先滤波再降采样 or 先降采样再滤波

对于脑电信号处理，先滤波再降采样和先降采样再滤波两种方案各有优缺点，但总体来说，先滤波再降采样是更优的选择。

方案 1：先带通滤波（0-50Hz），后降采样（500Hz到100Hz）

步骤

1. 对原始信号（500Hz采样率）进行带通滤波，保留 0-50Hz 的频率范围。
2. 对滤波后的信号进行降采样，从500Hz降到100Hz。

优点

1. 避免混叠（Aliasing）：

   • 在降采样前，通过带通滤波去除了50Hz以上的频率成分（即奈奎斯特频率100Hz以上的频率），避免了高频分量混入低频导致失真。
   • 这是采样定理的要求，能够保证降采样后信号的真实性。

2. 滤波器性能更高：

   • 在高采样率（500Hz）下滤波，滤波器能够获得更高的频率分辨率，滤波效果更好，尤其在接近带宽边界时（例如50Hz）。

缺点

1. 计算复杂度高：
   • 在500Hz的高采样率下进行滤波，处理的样本数量较多，增加了计算量。

方案 2：先降采样（500Hz到100Hz），后带通滤波（0-50Hz）

步骤

1. 对信号直接降采样，从500Hz降到100Hz。
2. 对降采样后的信号进行带通滤波，保留 0-50Hz 的频率范围。

优点

1. 计算效率高：
   • 降采样后信号的采样率降低，数据点数减少，滤波的计算量大幅降低，适合计算资源有限的场景。

缺点

1. 可能产生混叠（Aliasing）：

   • 如果信号中包含50Hz以上的高频成分，降采样时这些高频分量会混叠到低频范围，导致信号失真。
   • 即使后续滤波，也无法完全去除混叠，因为混叠是不可逆的。

2. 滤波效果可能较差：

   • 降采样后，频率分辨率降低，滤波器在100Hz采样率下工作时的频率带宽较窄，可能无法精确地去除边界频率（如50Hz附近）的噪声。

两种方案的比较

比较维度	方案 1：先滤波后降采样	方案 2：先降采样后滤波
混叠问题	完全避免混叠，信号保真度更高	降采样前未滤波，可能导致混叠，信号失真
计算效率	较低，在高采样率下处理数据，计算量大	较高，降采样后数据量少，滤波计算量小
滤波效果	滤波精度高，高采样率提供更好的频率分辨率	滤波精度低，低采样率限制了滤波器的性能
适用场景	数据分析优先，注重信号质量；适合高精度分析任务	实时处理优先，注重计算效率；适合资源受限场景

结论

1. 推荐方案 1（先滤波后降采样）：

   • 对于大多数脑电信号分析任务（如离线分析、研究用），信号质量优先，推荐先进行带通滤波以去除高频分量，再降采样，以避免混叠和保留信号真实性。

2. 方案 2（先降采样后滤波）的适用情况：

   • 如果实时处理的计算效率是首要考虑（如实时脑机接口应用），且降采样后的奈奎斯特频率已经远高于信号的带宽（例如信号本身频率远低于50Hz），可以考虑此方案。

额外建议

• 如果选择方案 2，在降采样前建议增加一个简单的抗混叠滤波器（如低通滤波器，截止频率设为50Hz），以尽量减轻混叠的影响。
• 可以利用 MNE 等工具中提供的高效滤波和降采样函数，结合工具的抗混叠机制，进一步优化信号处理流程。

香农采样定理（Shannon Sampling Theorem）

定义

香农采样定理，也称为 奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），是数字信号处理的基础理论。它指出：

如果一个信号的最高频率为 $f_{\text{max}}$，则以大于或等于 $2f_{\text{max}}$ 的采样率对该信号进行采样，可以完全恢复原始信号。

数学表述

• 设连续时间信号 $x(t)$ 的带宽（最高频率）为 $f_{\text{max}}$，即 $X(f)$ 在 $[-f_{\text{max}},f_{\text{max}}]$ 范围内有值，其他频率范围为零。
• 如果采样频率 $f_s\ge 2f_{\text{max}}$，则通过采样点 $x[n]=x(n{T}_s)$ （其中$T_s=\frac{1}{f_s}$ 为采样周期）可以唯一确定 $x(t)$。

关键概念

1. 奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）：

   • 奈奎斯特频率为信号的最高频率 $f_{\text{max}}$ 的两倍：
     $$f_s\ge 2f_{\text{max}}$$
   • 如果采样率小于奈奎斯特频率，则会发生混叠现象（aliasing）。

2. 混叠现象（Aliasing）：

   • 当采样频率 $f_s<2f_{\text{max}}$ 时，高频信号会被误认为是低频信号，从而导致信号失真，无法准确重建。

3. 重建公式：

   • 在满足采样定理的条件下，原信号可以通过采样点 $x[n]$ 由下面的公式完全重建：
     $$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\text{sinc}\left(\frac{t-n{T}_s}{T_s}\right)$$
     其中，$\text{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$。

通俗理解

1. 信号的带宽限制：

   • 一个信号的最高频率决定了它的带宽。例如，语音信号的频率通常低于 4kHz，因此它的带宽为 4kHz。

2. 采样频率的选择：

   • 根据香农采样定理，采样频率至少需要是最高频率的两倍。比如：
     • 如果语音的最高频率为 4kHz，则采样频率$f_s\ge 8$kHz。

3. 实际应用：

   • 在音频处理领域，CD 音质的采样率为 44.1kHz，远高于人耳可听的最高频率（20kHz），因此可以完全复原音频信号。

举例说明

1. 满足采样定理：

   • 一个正弦信号 $x(t)=\sin (2\pi ft)$，频率为 $f=1$Hz。如果采样频率为 $f_s=2.5$Hz，则采样点足够多，可以完全重建原信号。

2. 不满足采样定理（混叠）：

   • 同样的正弦信号 $f=1$Hz，如果采样频率为 $f_s=1.5$Hz，采样点不足，重建时会产生错误，导致低频信号与原信号混叠。

代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 参数设置
f = 1.0  # 正弦信号频率 (Hz)
T = 2.0  # 信号持续时间 (秒)
t_continuous = np.linspace(0, T, 1000)  # 连续时间点，用于绘制原始信号
x_continuous = np.sin(2 * np.pi * f * t_continuous)  # 原始正弦信号# 情况1：满足采样定理 (fs = 2.5 Hz)
fs1 = 2.5  # 采样频率
dt1 = 1 / fs1  # 采样间隔
t_sampled1 = np.arange(0, T, dt1)  # 采样时间点
x_sampled1 = np.sin(2 * np.pi * f * t_sampled1)  # 采样信号# 情况2：不满足采样定理 (fs = 1.5 Hz)
fs2 = 1.5  # 采样频率
dt2 = 1 / fs2  # 采样间隔
t_sampled2 = np.arange(0, T, dt2)  # 采样时间点
x_sampled2 = np.sin(2 * np.pi * f * t_sampled2)  # 采样信号# 重建信号（简单插值，用于可视化）
# 使用线性插值模拟重建（实际重建可能使用sinc插值）
t_reconstruct = np.linspace(0, T, 1000)
x_reconstruct1 = np.interp(t_reconstruct, t_sampled1, x_sampled1)  # 情况1重建
x_reconstruct2 = np.interp(t_reconstruct, t_sampled2, x_sampled2)  # 情况2重建# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 8))# 情况1：满足采样定理
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t_continuous, x_continuous, 'b-', label='Original Signal (1 Hz)')
plt.stem(t_sampled1, x_sampled1, 'r', markerfmt='ro', label='Sampled Points (2.5 Hz)')
plt.plot(t_reconstruct, x_reconstruct1, 'g--', label='Reconstructed Signal')
plt.title('Case 1: Sampling Theorem Satisfied (fs = 2.5 Hz)')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.legend()
plt.grid(True)# 情况2：不满足采样定理（混叠）
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t_continuous, x_continuous, 'b-', label='Original Signal (1 Hz)')
plt.stem(t_sampled2, x_sampled2, 'r', markerfmt='ro', label='Sampled Points (1.5 Hz)')
plt.plot(t_reconstruct, x_reconstruct2, 'g--', label='Reconstructed Signal')
plt.title('Case 2: Sampling Theorem Violated (fs = 1.5 Hz, Aliasing)')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果

运行代码后，看到两幅图：

• 情况1（满足采样定理）：
  • 采样点（红色）分布较密，能够捕捉信号的完整周期。
  • 重建信号（绿色虚线）与原始信号（蓝色实线）几乎重合，表明信号被正确重建。
• 情况2（不满足采样定理）：
  • 采样点（红色）分布较稀疏，无法捕捉信号的完整周期。
  • 重建信号（绿色虚线）呈现低频波形，与原始信号明显不同，展示了混叠效应。

结果分析

• 情况1：采样频率 $f_s=2.5$Hz 大于奈奎斯特频率 $2f=2$ Hz，满足采样定理，采样点足够多，信号可完全重建。
• 情况2：采样频率 $f_s=1.5$ Hz 小于奈奎斯特频率 $2f=2$ Hz，导致采样点不足，重建信号出现混叠，表现为低频失真（可能被错误解读为更低频率的信号）。

实际应用

香农采样定理广泛应用于信号处理、通信和数据采集领域：

1. 音频信号采样：

   • 在音频处理（如CD音质）中，最高人耳可听频率为20kHz，按采样定理，采样率至少为40kHz。CD音质的采样率选择为44.1kHz，满足采样定理并留有余量。

2. 医学成像：

   • 在CT、MRI等医学成像中，数据采样需要满足采样定理，以确保信号的完整性和还原质量。

3. 通信系统：

   • 无线通信中，为了有效传输和重建信号，采样频率必须满足带宽需求。

4. 数字信号处理：

   • 在DSP中，采样定理指导如何采集模拟信号并转换为数字信号，同时避免混叠。

总结

香农采样定理是信号采样的基础理论，解决了如何从连续信号生成数字信号并重建的问题。满足采样定理的条件是避免信号失真和混叠的前提，是现代数字技术不可或缺的理论工具。

混叠（Aliasing）详解

定义

混叠（Aliasing）是指在对信号进行采样时，如果采样频率低于信号中频率分量的两倍（奈奎斯特频率），高频信号会以低频的形式出现在采样后的信号中，从而导致失真。这种失真是不可逆的，无法通过后续处理恢复原始信号。

原理

混叠发生的核心原因是采样不充分，导致不同的频率分量在采样后**“重叠”**在低频范围，难以区分原始信号。

数学上，采样过程可以表示为原始信号的频谱 $X(f)$ 的周期性复制（以采样频率 $f_s$ 为周期）。如果采样频率 $f_s$ 小于两倍的最高信号频率 $f_{\text{max}}$，复制的频谱会重叠，导致混叠。

• 采样定理：
  $$f_s\ge 2f_{\text{max}}$$
  其中：

  • $f_s$：采样频率
  • $f_{\text{max}}$：信号中的最高频率

• 未满足采样定理时（混叠现象）：
  当 $f_s<2f_{\text{max}}$，信号中的高频分量会被“映射”到低频，表现为错误的频率信息。

混叠的直观理解

1. 图形化解释：
   • 假设一个高频正弦波信号，如果采样点过少（采样频率不足），这些采样点会落在一个低频正弦波上，使得采样信号看起来像是低频信号。

2. 日常类比：
   • 混叠类似于“车轮效应”：在电影中，当车轮转动过快时，会给人一种车轮反向旋转甚至停止的视觉错觉。这是因为电影的帧率（采样率）不足以准确捕捉车轮真实的运动。

混叠的数学推导

设信号为 $x(t)=\sin (2\pi f_{0}t)$，其中 $f_0>f_s/2$。采样得到的信号为：
$$x[n]=x(n{T}_s)=\sin \left(2\pi f_{0}n{T}_s\right)$$
采样频率为 $f_s=1/T_s$。由于频率是周期性的，高频分量 $f_0$ 会被映射到一个低频 $|f_{\text{alias}}|$，计算公式为：
$$f_{\text{alias}}=|f_0-k{f}_s|$$
其中 $k$ 是使 $f_{\text{alias}}$ 落在 $[0,f_s/2]$ 内的整数。

混叠的后果

1. 频谱失真：

   • 原始信号的高频分量会“叠加”到低频范围，导致频谱中出现错误的频率信息。

2. 不可恢复：

   • 混叠是不可逆的，即使使用滤波器也无法恢复原始信号。

3. 信号失真：

   • 采样信号不再准确反映原始信号，影响后续分析和处理。

如何避免混叠

为了避免混叠，可以采取以下措施：

1. 提高采样率：

   • 根据采样定理，采样频率 $f_s$ 应至少是信号最高频率 $f_{\text{max}}$ 的两倍（奈奎斯特频率）：
     $$f_s\ge 2f_{\text{max}}$$

2. 抗混叠滤波器（Anti-Aliasing Filter）：

   • 在采样前使用低通滤波器，滤除高于奈奎斯特频率 $(f_s/2)$ 的信号成分。
   • 抗混叠滤波器通常是模拟低通滤波器，其截止频率为 $f_s/2$。

实例解析

1. 未发生混叠的情况：

   • 信号：$x(t)=\sin (2\pi \cdot 10t)$
   • 最高频率：10Hz
   • 采样频率：25Hz
   • 满足采样定理$f_s=25Hz>2\times 10Hz$，可以准确重建信号。

2. 发生混叠的情况：

   • 信号：$x(t)=\sin (2\pi \cdot 10t)$
   • 采样频率：15Hz
   • 不满足采样定理$f_s=15Hz<2\times 10Hz$，信号中10Hz的频率会被混叠到 $15-10=5$Hz，采样结果会错误显示为5Hz信号。

应用场景

1. 音频信号处理：

   • 在语音采样中，常用44.1kHz采样率，以避免20kHz以上声音引起的混叠。

2. 医学信号采集：

   • 在EEG（脑电图）采集中，通常对信号进行低通滤波以消除高频噪声，防止混叠。

3. 通信系统：

   • 抗混叠滤波器是通信系统中模数转换（ADC）不可缺少的部分。

总结

• **混叠的核心问题：**采样频率不足以表示信号中的高频成分。
• 解决混叠的方法：
  1. 增加采样率，满足采样定理。
  2. 通过抗混叠滤波器去除高频分量。
• **关键点：**理解混叠现象有助于避免信号失真，确保信号处理的准确性。