【机器学习】使用Numpy实现神经网络训练全流程

曾经在面试一家大模型公司时遇到的面试真题，当时费力写了一个小时才写出来，自然面试也挂了。后来复盘，发现反向传播掌握程度还是太差，甚至连梯度链式传播法则都没有弄明白。

网络搭建

这里我们以训练 全连接神经网络 为例，也就是输入层，隐藏层和输出层都是 全连接层，激活函数选择Relu函数。

• 构造Linear层来实现全连接层，其中权重参数$w$和偏执参数$bias$分别使用随机初始化和零初始化
• Relu激活函数没有可学习参数
• 整个网络写成MLP类，并设置参数控制中间隐藏层的个数

class Relu:''' relu activation function'''def forward(self, x):self.x = xreturn np.maximum(0, x)class LinearLayer:def __init__(self, input_c, output_c):# y = x @ w + b# self.w = np.random.rand(input_c, output_c)self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸self.b = np.zeros(output_c)class MLP:def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):self.layers = []# 初始化网络第一层self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络中间层for i in range(layers_num - 2):self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))

前向传播

前向传播部分，主要包括 Linear层的前向，Relu激活函数的前向，以及MLP类的前向：

• Relu激活函数：前向就是和0比较大小，大于零的保留，小于零的都置为0
• Linear层：前向计算公式就是线性回归方程，要注意计算时维度需要对齐
• MLP类：逐层调用前向传播函数

class Relu:''' relu activation function'''def forward(self, x):self.x = xreturn np.maximum(0, x)class LinearLayer:def __init__(self, input_c, output_c):# y = x @ w + b# self.w = np.random.rand(input_c, output_c)self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸self.b = np.zeros(output_c)def forward(self, x):self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度# y = x @ w + breturn np.dot(x, self.w) + self.bclass MLP:def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):self.layers = []# 初始化网络第一层self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络中间层for i in range(layers_num - 2):self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))def forward(self, x):res = xfor layer in self.layers:res = layer.forward(res)return res

反向传播

前向的输出，变为反向的输入
梯度，就是多元函数对某个变量的偏导数（变化最快的方向）
梯度下降法更新参数，就是朝着梯度的反方向更新参数
参数的梯度，意思是 损失函数对这个参数的梯度，根据求导的链式法则，可以表示为逐层求导乘积的形式

同前向一样，反向传播部分，也包括 Linear层的反向，Relu激活函数的反向，以及MLP类的反向：

• Relu激活函数：大于0时导数为1，小于等于0时导数为0。同时由于没有可学习参数，所以只需要回传输入的梯度值即可
• MLP类：由于是反向传播，所以起点就是 损失函数 对于 MLP最后一层的输出 的梯度值，然后从最后一层向前，逐层 回传 梯度值
• Linear层：由于存在可学习参数需要去更新，因此不仅需要计算输入的梯度，还需要计算两个可学习参数$w$和$bias$的梯度，然后更新参数

class Relu:''' relu activation function'''def forward(self, x):self.x = xreturn np.maximum(0, x)def backward(self, grad_output, lr):# 这里的lr没有用到，但是为了保持参数接口的一致性，还是保留了return grad_output * (self.x > 0) # relu函数的一阶导数，大于0部分为1，小于0部分为0class LinearLayer:def __init__(self, input_c, output_c):# y = x @ w + b# self.w = np.random.rand(input_c, output_c)self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸self.b = np.zeros(output_c)def forward(self, x):self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度# y = x @ w + breturn np.dot(x, self.w) + self.bdef backward(self, grad_output, lr):# linear层的梯度计算，涉及三个参数，x，w，b，为 dx, dw, db# 其中，dw和db是为了更新w和b# dx是为了计算下一层的梯度，链式法则# y = x @ w + b# dl / dx = dl / dy * dy / dx = grad_output * w# 这里要注意矩阵的维度要对齐grad_input = np.dot(grad_output, self.w.T)# dl / dw = dl / dy * dy / dw = grad_output * x# 这里要注意矩阵的维度要对齐w_grad = np.dot(self.x.T, grad_output)b_grad = np.sum(grad_output, axis=0)# 更新w和b的参数self.w -= lr * w_gradself.b -= lr * b_gradreturn grad_inputclass MLP:def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):self.layers = []# 初始化网络第一层self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络中间层for i in range(layers_num - 2):self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))def forward(self, x):res = xfor layer in self.layers:res = layer.forward(res)return resdef backward(self, grad_output, lr):grad = grad_output# 倒序遍历每一层，反向传播，计算每一层梯度# for layer in reversed(self.layers):for layer in self.layers[::-1]:grad = layer.backward(grad, lr)return grad

损失计算

这里为了简化操作，使用MSE均方误差函数，作为损失函数：

然后，计算损失loss对模型最后一层输出的梯度：$l_{grad}=2\ast (y-\hat{y})$，然后，将$l_{grad}$作为模型反向传播的起点，逐层回传梯度并使用梯度下降法更新参数。

完整代码

import numpy as npclass Relu:''' relu activation function'''def forward(self, x):self.x = xreturn np.maximum(0, x)def backward(self, grad_output, lr):# 这里的lr没有用到，但是为了保持参数接口的一致性，还是保留了return grad_output * (self.x > 0) # relu函数的一阶导数，大于0部分为1，小于0部分为0class LinearLayer:def __init__(self, input_c, output_c):# y = x @ w + b# self.w = np.random.rand(input_c, output_c)self.w = np.random.rand(input_c, output_c) * 0.001 # 这里乘上0.001是为了防止结果太大，梯度爆炸self.b = np.zeros(output_c)def forward(self, x):self.x = x # 这里保存输入，为了后续在反向传播中计算梯度# y = x @ w + breturn np.dot(x, self.w) + self.bdef backward(self, grad_output, lr):# linear层的梯度计算，涉及三个参数，x，w，b，为 dx, dw, db# 其中，dw和db是为了更新w和b# dx是为了计算下一层的梯度，链式法则# y = x @ w + b# dl / dx = dl / dy * dy / dx = grad_output * w# 这里要注意矩阵的维度要对齐grad_input = np.dot(grad_output, self.w.T)# dl / dw = dl / dy * dy / dw = grad_output * x# 这里要注意矩阵的维度要对齐w_grad = np.dot(self.x.T, grad_output)b_grad = np.sum(grad_output, axis=0)# 更新w和b的参数self.w -= lr * w_gradself.b -= lr * b_gradreturn grad_inputclass MLP:def __init__(self, input_c, hidden_c, output_c, layers_num):self.layers = []# 初始化网络第一层self.layers.append(LinearLayer(input_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络中间层for i in range(layers_num - 2):self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, hidden_c))self.layers.append(Relu())# 初始化网络最后一层，注意，最后一层没有relu激活函数self.layers.append(LinearLayer(hidden_c, output_c))def forward(self, x):res = xfor layer in self.layers:res = layer.forward(res)return resdef backward(self, grad_output, lr):grad = grad_output# 倒序遍历每一层，反向传播，计算每一层梯度# for layer in reversed(self.layers):for layer in self.layers[::-1]:grad = layer.backward(grad, lr)return gradif __name__ == '__main__':input_data = np.random.rand(2, 8)input_c = 8hidden_c = 16output_c = 3layers = 5target = np.random.rand(2, 3)mlp_model = MLP(input_c, hidden_c, output_c, layers)# print(mlp_model.layers)for i in range(10):print(f'[Epoch: {i} / 100]', end='   ')res = mlp_model.forward(input_data)# 计算损失loss，这里使用mse，均方误差函数loss = ((res - target) ** 2).mean()# 损失对于最后一层输出res的梯度loss_grad = 2 * (res - target)# 反向传播，计算每一层梯度mlp_model.backward(loss_grad, lr=0.1)print(f'[loss: {loss}]')

输出结果：

[Epoch: 0 / 100]   [loss: 0.7094113331502839]
[Epoch: 1 / 100]   [loss: 0.2770589775342763]
[Epoch: 2 / 100]   [loss: 0.12141369105814748]
[Epoch: 3 / 100]   [loss: 0.06538216434144564]
[Epoch: 4 / 100]   [loss: 0.04521136910150728]
[Epoch: 5 / 100]   [loss: 0.037950191234703855]
[Epoch: 6 / 100]   [loss: 0.03533631186000425]
[Epoch: 7 / 100]   [loss: 0.03439537638899603]
[Epoch: 8 / 100]   [loss: 0.034056663841438094]
[Epoch: 9 / 100]   [loss: 0.033934736564443235]