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【网格图DP】力扣62. 不同路径

2025/10/25 7:05:46 来源:https://blog.csdn.net/sjsjs11/article/details/141053854  浏览:    关键词:【网格图DP】力扣62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。

问总共有多少条不同的路径?
在这里插入图片描述
输入:m = 3, n = 7
输出:28
示例 2:

输入:m = 3, n = 2
输出:3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向下
    示例 3:

输入:m = 7, n = 3
输出:28
示例 4:

输入:m = 3, n = 3
输出:6
在这里插入图片描述
滚动数组

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<int> f(n,1);for (int i = 1; i < m; ++i) {for (int j = 1; j < n; ++j) {f[j] += f[j-1];}}return f[n-1];}
};

时间复杂度:O(mn)
空间复杂度:O(mn)

在这里插入图片描述

等号左边的f[j]是要求终点为序号3格子的路径和,他由序号1和序号2的不同路径数目相加,由于序号2已经被覆盖过,实际上他就是f[j-1],序号一由于还没被覆盖过,他的值还是f[j],最后返回右下角的值即是不同路径数目。

数学方法

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {long long ans = 1;for(int x=n,y=1;y<m; x++, y++){ans = ans * x / y;}return ans;}
};

时间复杂度:O(m)
空间复杂度:O(1)

在这里插入图片描述

一共要向右移动m-1次,向下移动n-1次,一共要移动m+n-2次,从这些移动中,选择哪几次是向右移动,进行组合排序。

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