代码随想录算法训练营第22天 | 第七章 回溯算法part01

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回溯算法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。
回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。
所以以下讲解中，回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。
因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案。

解决的问题：

1. 组合：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
2. 分割：一个字符串按一定规则有几种切割方式
3. 子集：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
4. 排列：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
5. 棋盘问题：N皇后，解数独等等
6. 其他

组合和排列：例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。
记住组合无序，排列有序，就可以了。

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！
因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。
递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。
这块可能初学者还不太理解，后面的回溯算法解决的所有题目中，我都会强调这一点并画图举相应的例子，现在有一个印象就行。

回溯法模板

1. 回溯函数模板返回值以及参数
   回溯算法中函数返回值一般为void。
   再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。
   回溯函数伪代码如下：

void backtracking(参数)

2. 回溯终止条件
   树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

if(终止条件){存放结果;return;
}

3. 回溯搜索的遍历过程

回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

for(选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){处理节点;backtracking(路径, 选择列表);//递归回溯, 撤销处理结果}

回溯总模板

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

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77.组合

Leetcode链接
思路：因为k=2，所以暴力搜索法是用两层for循环嵌套实现，回溯法用递归解决嵌套层数

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

class Solution {
private:vector<vector<int>> result; // 存放集合vector<int> path;           // 存放单一结果void backtracking(int n, int k, int startIndex) {// 终止条件if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n; i++) {path.push_back(i);backtracking(n, k, i + 1); // 递归：纵向遍历，纵向的startIndex从i+1开始遍历path.pop_back(); // 回溯，撤销处理节点}}
public:vector<vector<int>> combine(int n, int k) {result.clear();path.clear();backtracking(n, k, 1);return result;}
};

剪枝优化

n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

1. 已经选取的元素为path.size()
2. 还需选取的元素：k-path.size()
3. 列表剩余元素：n-i >= 还需选取的元素：k-path.size()
4. 则n集合里 最多从 起始位置i 开始遍历，其中 i<=n-(k-path.size())+1

EX：n=4, k=3 若path.size()=1(选取了一个元素)，则 i <=3 (若遍历到i=4，不可能满足 k=3 的：[1,4])

216.组合总和Ⅲ

Leetcode链接

class Solution {
private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int k, int n, int sum, int startIndex) {if (sum > n)return;if (path.size() == k) {if (sum == n) {result.push_back(path);return;}}for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {path.push_back(i);sum += i;backtracking(k, n, sum, i + 1);sum -= i;path.pop_back();}}public:vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {result.clear();path.clear();backtracking(k, n, 0, 1);return result;}
};

17.电话号码的字母组合

Leetcode链接

思路：
数字和字母如何映射：定义一个map or 二维数组：

const string letterMap[10]={"",//0"",//1"abc",//2"def",//3"ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"//9
};

class Solution {
private:const string letterMap[10] = {"",     "", "abc", "def","ghi",  // 4"jkl",  // 5"mno",  // 6"pqrs", // 7"tuv",  // 8"wxyz", // 9};public:vector<string> result;string s;void backtracking(const string& digits, int index) {if (index == digits.size()) {result.push_back(s);return;}int digit = digits[index] - '0';string letters = letterMap[digit];for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {s.push_back(letters[i]);backtracking(digits, index + 1);s.pop_back();}}vector<string> letterCombinations(string digits) {s.clear();result.clear();if (digits.size() == 0) {return result;}backtracking(digits, 0);return result;}
};`

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总结