二分查找算法

二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的算法。该算法的基本思想是通过每一次比较，将查找范围缩小一半，最终找到目标元素或者确定目标元素不存在。

步骤：

• 初始化两个指针````````和r分别指向区间的开始和终点；
• while(l< r)计算中点mid = （l+ r）/ 2（有溢出的风险），防止溢出的方法mid = (r- l) / 2 + l
• 判断mid处是否满足条件；
• 如果目标元素等于中间元素，查找成功，返回中间元素的索引。
• 如果目标元素小于中间元素，说明目标元素可能在左半部分，更新 r= mid - 1
• 如果目标元素大于中间元素，说明目标元素可能在右半部分，更新 l= mid + 1

优势：

• 因为每次可以减少一半的查询量，所以时间复杂度低，为O(logN)

条件：

• 数组必须有序；

版本1：
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。

int bsearch_1(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}return l;
}

版本2
当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

int bsearch_2(int l, int r)
{while (l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if (check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;}return l;
}

二分查找

题目链接：二分查找

思路：

• 最基础的二分，按照上述步骤写即可；

C++代码

class Solution 
{
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int l = 0, r = nums.size() - 1;while(l <= r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] > target){r = mid - 1;}else if(nums[mid] < target){l = mid + 1;}else{return mid;}}return -1;}
};

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

思路：

• 题目说明时间复杂度为O(logN)即让我们使用二分
• 判断数组是否为空，如果为空，则直接返回 {-1, -1}，表示目标元素不存在于数组中
• 二分两次分别找左端点、右端点

寻找左端点
以左边界划分的两个区间的特点

• 左边区间的特点[left, begin - 1]都是小于x的

• 右边区间（包括左边界）[begin, right]都是⼤于等于x的

• 当mid落在[left, begin - 1]的时候，也就是nums[mid] < target ；说明[left, mid]都是可以舍去的，此时更新left到mid + 1 的位置，继续在[mid + 1, right]上寻找左边界

• 当mid落在[begin , right]的时候，也就是nums[mid] >= target ；说明[mid + 1, right]都是可以舍去的，此时更新right到mid的位置，继续在[left, mid ]上寻找左边界

• 寻找右端点同理；

C++代码：

class Solution 
{
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(!nums.size()) return {-1,-1}; // 特判空数组int begin  = 0; // 左端点；int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = (left + right) >> 1;if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}if(nums[left]!=target) return {-1,-1};else begin = left;// 右端点；left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + right + 1>> 1;if(nums[mid] <= target) left = mid;else right = mid - 1;}return {begin, right};}
};

搜索插入位置

题目链接：搜索插入位置

思路：

• 题目说明时间复杂度为O(logN)即让我们使用二分

• 特判，如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
  if(target > nums[nums.size() - 1]) return nums.size();

• 定义两指针left和right，进入循环while(left < right)

• 通过计算中间位置mid（避免整数溢出的写法），对比中间元素与目标元素的大小关系，从而缩小查找范围

• 若nums[mid] < target，则更新left = mid + 1

• 若nums[mid] > target，则更新right = mid

• 最后判断 nums[left] 与 target的关系

C++代码：

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {// 如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。if(target > nums[nums.size() - 1]) return nums.size(); int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}return left;}
};

x 的平方根

题目连接： x 的平方根

暴力思路：

• 依次枚举[0, x]中的所有数i
• 如果i * i == x，则返回i
• 如果i * i > x， 则返回i - 1

C++代码：

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {for(int i = 0; i <= x; i++){if(i * i == x) return i;if(i * i > x) return i - 1;}return -1;}
};

由于两个较⼤的数相乘可能会超过 int 最⼤范围, 所以用long long

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {for(long long i = 0; i <= x; i++){if(i * i == x) return i;if(i * i > x) return i - 1;}return -1;}
};

山脉数组的峰顶索引

题目链接：山脉数组的峰顶索引

思路：

• 如果mid位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在[mid + 1, right]区间继续搜索
• 如果mid位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在[left, mid - 1]区间继续搜索
• 如果mid 位置就是⼭峰，直接返回结果

C++代码：

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left = 0, right = arr.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;else right = mid - 1;}return left;}
};

寻找峰值

题目链接：寻找峰值

思路：

• 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，说明峰值可能在右半部分，更新left = mid + 1
• 如果nums[mid] >= nums[mid + 1]，说明峰值可能在左半部分，更新 right = mid
• 循环直到left >= right，此时left 或 right就是无序数组的峰值。返回 left

C++代码：

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left=0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < nums[mid + 1]) left = mid + 1;else right = mid;}return left;}
};

寻找旋转排序数组中的最小值

题目链接：寻找旋转排序数组中的最小值

思路：

题⽬中的数组规则如下图所⽰

c点即为所求，由图可知A,B严格大于C，D>=C;

• 初始left和right，
• 当mid落在A,B时，即nums[mid] > D，则更新left= mid + 1
• 当mid落在C,D时，即nums[mid] <= D，则更新right = mid

C++代码：

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + right >> 1;if(nums[mid] > nums[right]) left = mid + 1;else right = mid;}return nums[left];}
};