2. 数列极限
2.4 收敛准则
2.4.8 实数系的基本定理
- 确界存在定理（实数系的连续性）
- 单调有界数列收敛定理
- 闭区间套定理
- Bolzanp-Weierstrass（波尔查诺－魏尔斯特拉斯）定理
- Cauchy（柯西）收敛原理（实数系的完备性）
【注】从上往下可以依次推导得出
有理数集合不具有完备性，比如 { ( 1 + 1 n ) n } \{(1+\frac{1}{n})^{n}\} {(1+n1)n}是有理数列，但是 lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e n→∞lim(1+n1)n=e，它的极限是无理数 e e e，它不具备完备性。
现在证明逆推也可以
【定理2.4.8】实数系的完备性等价于实数系的连续性
【证】（1）从Cauchy（柯西）收敛原理来证闭区间套定理。
{ [ a n , b n ] } \{[a_{n},b_{n}]\} {[an,bn]}， [ a n + 1 , b n + 1 ] ⊂ [ a n , b n ] , b n − a n → 0 [a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_{n},b_{n}],b_{n}-a_{n}\to 0 [an+1,bn+1]⊂[an,bn],bn−an→0
设 m > n m>n m>n，且有如下套区间（说明 { a n } \{a_{n}\} {an}单调增加， { b n } \{b_{n}\} {bn}单调减少，区间套的定义）：
0 < a m − a n < b n − a n → 0 ( n → ∞ ) 0<a_{m}-a_{n}<b_{n}-a_{n}\to 0(n\to\infty) 0<am−an<bn−an→0(n→∞)
说明 { a n } \{a_{n}\} {an}是基本数列，即 { a n } \{a_{n}\} {an}收敛， lim n → ∞ a n = ξ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\xi n→∞liman=ξ，则 lim n → ∞ b n = ξ \lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=\xi n→∞limbn=ξ
由于 { a n } \{a_{n}\} {an}单调增加， { b n } \{b_{n}\} {bn}单调减少，则 ξ \xi ξ是 { a n } \{a_{n}\} {an}的上界， { b n } \{b_{n}\} {bn}的下界，所以 ξ \xi ξ属于一切 [ a n , b n ] [a_{n},b_{n}] [an,bn]，又由于 b n − a n → 0 ( n → ∞ ) b_{n}-a_{n}\to 0(n\to\infty) bn−an→0(n→∞)所以 ξ \xi ξ唯一
（2）由比区间套定理证明确界存在定理。
设 S \textbf{S} S是非空有上界数集，记 S \textbf{S} S的上界构成的集合为 T \textbf{T} T，
先取 a 1 ∉ T , b 1 ∈ T a_{1}\notin\textbf{T},b_{1}\in\textbf{T} a1∈/T,b1∈T，则有闭区间 [ a 1 , b 1 ] [a_{1},b_{1}] [a1,b1]
再取 [ a 2 , b 2 ] = { [ a 1 , a 1 + a 1 2 ] , a 1 + b 1 2 ∈ T [ a 1 + a 1 2 , b 1 ] , a 1 + b 1 2 ∉ T [a_{2},b_{2}]=\left\{\begin{array}{l} [a_{1},\frac{a_{1}+a_{1}}{2}]&,\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\in\textbf{T}\\ [\frac{a_{1}+a_{1}}{2},b_{1}]&,\frac{a_{1}+b_{1}}{2}\notin\textbf{T} \end{array}\right. [a2,b2]={[a1,2a1+a1][2a1+a1,b1],2a1+b1∈T,2a1+b1∈/T
取 [ a 3 , b 3 ] = { [ a 2 , a 2 + a 2 2 ] , a 2 + b 2 2 ∈ T [ a 2 + a 2 2 , b 2 ] , a 2 + b 2 2 ∉ T [a_{3},b_{3}]=\left\{\begin{array}{l} [a_{2},\frac{a_{2}+a_{2}}{2}]&,\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\in\textbf{T}\\ [\frac{a_{2}+a_{2}}{2},b_{2}]&,\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\notin\textbf{T} \end{array}\right. [a3,b3]={[a2,2a2+a2][2a2+a2,b2],2a2+b2∈T,2a2+b2∈/T
它的特点是 a n ∉ T , b n ∈ T a_{n}\notin\textbf{T},b_{n}\in\text{T} an∈/T,bn∈T，即 a n a_n an不是上界， b n b_n bn是上界
由闭区间套定理
存在唯一的 ξ \xi ξ属于一切 [ a n , b n ] [a_{n},b_{n}] [an,bn]
现证 ξ \xi ξ是 S \textbf{S} S的上确界，分两步证明：
（2.1） ξ \xi ξ是上界。
（2.2） ξ \xi ξ是最小上界
证明（2.1），反证法，若 ξ ∉ T \xi\notin\textbf{T} ξ∈/T，则 ∃ x ∈ S \exists x\in\textbf{S} ∃x∈S使得 x > ξ x>\xi x>ξ，由于 lim n → ∞ b n = ξ \lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=\xi n→∞limbn=ξ，当 n n n充分大，有 x > b n x>b_{n} x>bn，与 b n b_{n} bn是上界矛盾（此时矛盾点在于推出 b n b_{n} bn比不是上界的 x x x小），所以 ξ \xi ξ是上界。
证明（2.2)，反证法，若 ∃ η ∈ T , η < ξ \exists\eta\in\textbf{T},\eta<\xi ∃η∈T,η<ξ（ η \eta η比 ξ \xi ξ小，说明 η \eta η是最小上界， ξ \xi ξ不是最小上界）
由 lim n → ∞ a n = ξ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\xi n→∞liman=ξ可知当 n n n充分大， η < a n \eta<a_{n} η<an，由于 a n ∉ T a_{n}\notin\textbf{T} an∈/T（ a n a_{n} an不是上界），所以 ∃ y ∈ S , y > a n \exists y \in \textbf{S},y>a_{n} ∃y∈S,y>an（一个不是上界的元素比 a n a_{n} an大）
η < a n < y ∈ S \eta < a_{n} <y \in \textbf{S} η<an<y∈S，由于 η \eta η是上界，但是出现了上界比不是上界的元素小的情况，矛盾
所以 ξ \xi ξ是最小上界
证毕
所以上述5个定理是等价的，即从其中任何一个定理出发可以推断其他定理，所以这5个定理的每一个都可以称为是实数系的基本定理。
