2023 CCPC Shenzhen M

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首先有一个感性的想法是不处理大整数，而是将这些大整数都对质数取模变成普通整数。 然而我们只能轻松地计算形如$$(a_i+a_j+a_k)\%p=\theta \%p$$这样的式子，如果$\theta$不确定的话就不好处理了。

再进一步考虑，我们可以一开始将$a_i$全部对M取模，这样取模后再相加，符合要求的结果就只有$0$,$M$,$2M$这几种了。即加和出来的结果是确定的。然后就可以处理了。

现在的问题变成了怎么让$a_i$对$M$取模。可以发现其实是从低到高前k位不变，更高位向下平移了k位再相加。注意仅仅这样处理的话会漏掉$a_i=M$的情况，只用在后续处理中加上$3M$的加和结果就行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=505,maxk=20005;
int n,k,a[maxn][maxk],p[15]={998244353,1000000007,1019344367,1000000009,19260817},len[maxn],p1[maxk],p2[maxk],p3[maxk];
string s;
int b[maxn][15],prime=5;
int resm[15],resm2[15],resm3[15];
vector<int> rest[maxk];
map<int,vector<int> > mp;
inline int am(int a,int b,int mod){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
signed main(){//freopen("M.in","r",stdin);//freopen("M.out","w",stdout);ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s;for(int j=0;j<s.size();j++){a[i][s.size()-j-1]=s[j]-'0';}len[i]=s.size();while(len[i]>k){int up=(len[i]-1)/k;for(int j=0;j<=up;j++)rest[j].clear();for(int j=0;j<len[i];j++){rest[j/k].push_back(a[i][j]);}for(int j=0;j<k;j++)p1[j]=rest[0][j];int len1=k,len2=0;for(int o=1;o<=up;o++){//printf("%d!\n",rest[o].size());for(int v=0;v<rest[o].size();v++){p2[v]=rest[o][v];}len2=rest[o].size();int len3=max(len1,len2),carry=0;for(int j=len1;j<len3;j++)p1[j]=0;for(int j=len2;j<len3;j++)p2[j]=0;for(int j=0;j<len3;j++){int tmp=(p1[j]+p2[j]+carry)%10;carry=(p1[j]+p2[j]+carry)/10;p1[j]=tmp;}len1=len3;if(carry!=0)p1[len1++]=carry;}len[i]=len1;for(int j=0;j<len1;j++)a[i][j]=p1[j];}}for(int v=0;v<prime;v++){resm[v]=0;resm2[v]=0;for(int i=0;i<k;i++){resm[v]=(resm[v]*10+9)%p[v];}resm2[v]=(resm[v]+resm[v])%p[v];resm3[v]=(resm[v]+resm2[v])%p[v];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=len[i]-1;j>=0;j--){b[i][v]=(b[i][v]*10+a[i][j])%p[v];}	}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++){for(int k=j;k<=n;k++){int flag0=1,flag1=1,flag2=1,flag3=1;for(int v=0;v<5;v++){int tmp=(b[i][v]+b[j][v]+b[k][v])%p[v];if(tmp!=0){flag0=0;}if(tmp!=resm[v]){flag1=0;}if(tmp!=resm2[v]){flag2=0;}if(tmp!=resm3[v]){flag3=0;}if((flag0==0)&&(flag1==0)&&(flag2==0)&&(flag3==0)){break;}}if((flag0==0)&&(flag1==0)&&(flag2==0)&&(flag3==0));else{ans++;}}}}printf("%lld\n",ans);return 0;
}