布朗运动：股票价格波动的数学建模基础

一、布朗运动的起源与金融意义

1827年，植物学家罗伯特·布朗观察到悬浮在水中的花粉颗粒做无规则运动，后被命名为布朗运动。在金融领域，它被用来描述资产价格的“随机波动”，是期权定价（如Black-Scholes模型）的核心假设之一。

二、标准布朗运动（Standard Brownian Motion）

1. 数学定义（Wiener过程）

随机过程 $W (t)$ 满足以下条件：

初始条件： $W (0) = 0$
独立增量：对任意 $\leq s < t$ ，增量 $W (t) - W (s)$ 独立于 $\leq s$
正态增量： $\sim N(0, t - s)$
路径连续性：几乎所有路径连续（无跳跃）

2. 关键性质

均值与方差：
$\quad Var[W(t)] = t$
鞅性质：
对任意 $\leq t$ ，有 $E [W (t) ∣ W (s)] = W (s)$ （未来增量的期望为0，无趋势）。
样本路径：
连续但不可微（处处“粗糙”，符合市场价格波动的无序性）。

在这里插入图片描述

图1：标准布朗运动的3条样本路径，显示无规则波动特性

三、一般布朗运动（Generalized Brownian Motion）

在标准布朗运动基础上引入漂移项和扩散项，描述带趋势的随机波动：
$\mu dt + \sigma dW(t)$

漂移项（ $\mu dt$ ）：表示单位时间内的平均趋势（如股票的预期收益率）。
扩散项（ $\sigma dW(t)$ ）：表示随机波动， $\sigma$ 为波动率（衡量波动幅度）。

1. 解的形式

通过积分可得：
$\mu t + \sigma W(t)$

均值： $\mu t$
方差： $\sigma^2 t$

四、几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）

股票价格 $S (t)$ 不能为负，且实证显示其对数收益率近似正态分布，因此用几何布朗运动建模：
$\mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$

核心假设：对数收益率 $\ln(S(t)/S(0))$ 服从一般布朗运动。

1. 随机微分方程（SDE）求解

通过伊藤引理（后续章节详细推导），可得解析解：
$\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W(t) \right)$

对数正态分布： $\ln S(t) \sim N\left( \ln S(0) + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t, \sigma^2 t \right)$
均值： $e^{\mu t}$ （指数增长，符合资产复利效应）

五、布朗运动 vs 几何布朗运动：金融场景对比

特征	布朗运动 (X(t))	几何布朗运动 (S(t))
取值范围	全体实数（可正可负）	正实数（(S(t) > 0)）
金融应用	收益率建模（如短期波动）	资产价格建模（如股票、期权标的）
对数变换	无特殊意义	(\ln S(t)) 服从布朗运动
典型案例	债券短期收益率波动	股票价格长期走势

六、Python实战：模拟布朗运动与几何布朗运动路径

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef simulate_brownian_motion(T=1, N=252, mu=0, sigma=0.2, S0=100):dt = T / Nt = np.linspace(0, T, N+1)W = np.cumsum(np.sqrt(dt) * np.random.normal(size=N))  # 标准布朗运动增量X = S0 + mu * t + sigma * W  # 一般布朗运动S = S0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma**2) * t + sigma * W)  # 几何布朗运动return t, X, S# 模拟参数
T = 1  # 1年
N = 252  # 252个交易日
mu = 0.1  # 漂移率（年化）
sigma = 0.2  # 波动率（年化）
S0 = 100  # 初始价格# 生成路径
t, X, S = simulate_brownian_motion(T, N, mu, sigma, S0)# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, X)
plt.title(f'一般布朗运动 (μ={mu}, σ={sigma})')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('X(t)')plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t, S)
plt.title(f'几何布朗运动 (μ={mu}, σ={sigma})')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('S(t)')plt.tight_layout()
plt.show()