（三）机器学习---线性回归及其Python实现

分类问题	回归问题	聚类问题	各种复杂问题
决策树√	线性回归√	K-means√	神经网络√
逻辑回归√	岭回归	密度聚类	深度学习√
集成学习√	Lasso回归	谱聚类	条件随机场
贝叶斯		层次聚类	隐马尔可夫模型
支持向量机		高斯混合聚类	LDA主题模型

一.回归问题

回归分析(Regression Analysis)：用函数模型拟合样本数据，获得目标变量与自变量（即特征）之间的关系。用于预测新的特征值对应的目标变量值。目标变量值是连续的数据。

二.一元线性回归

（1）一元线性回归的定义

通过拟合一个目标变量和一个特征之间最佳的线性关系来预测目标变量值。

例如：以下一元线性回归模型可以利用父母平均身高来预测其子女平均身高。

给定数据集：D={(68.5,68.6),(72.8,73.0),……}

试图学得：f(x)=ωx+b使得：f(xi)≈yi

模型实际意义解释：基础身高33.73英寸，父母平均身高每增加1英寸，子女平均身高增加0.516英寸。

（2）一元线性回归模型的参数学习

这样参数学习的问题就转化成了求损失函数最小值的问题

（3）一元线性回归模型的参数学习---正规方程法

这里的算式我们称为天才算法，直接求解！只要样本数大于参数个数，即可求得任意多元线性回归参数。但参数多时（如大于一万）计算量很大

（4）一元线性回归模型的参数学习---梯度下降法

在处理大量参数时，传统的数学解法存在计算量过大的问题。为了解决这一难题，研究人员提出了梯度下降法作为更为通用的参数学习方法。这种方法通过不断迭代优化，逐步接近最优解——即损失函数的极小值。以类似摇床的图形为例，该过程涉及选择初始参数组合（如欧米伽），并根据其计算出相应的损失函数值；随后调整参数使其损失函数值降低最多，从而找到最佳参数组合。

具体来说，通过调整学习速率（阿尔法）和当前参数值（如B），可以确定每次迭代时参数变化的具体步长。这一过程涉及计算损失函数关于目标变量（如B）的偏导数，以此来判断下一步应该在哪条路径上前进。每一次迭代都使模型参数向着损失函数曲线最低处移动一小步，最终达到全局最优解或局部极小值。简而言之，这种方法不断更新参数，使其沿梯度方向逐步逼近最佳结果。