【数据结构】树状数组

树状数组

假设一个数可以$x$可以被二进制分解成$x=2^{i_1}+2^{i_2}+...+2^{i_m}$，不妨设$i_1>i_2>...>i_m$，进一步地，区间$[1,x]$可以分成$O(logx)$个小区间：

• 长度为$2^{i_1}$的小区间$[1,2^{i_1}]$
• 长度为$2^{i_2}$的小区间$[2^{i_1}+1,2^{i_1}+2^{i_2}]$
• $...$
• 长度为$2^{i_m}$的小区间$[2^{i_1}+2^{i_2}+...+2^{i_{m-1}}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+...+2^{i_m}]$

这些小区间的共同特点是：若区间结尾为$R$，则区间长度为$lowbit(R)$。

树状数组，就是基于上述思想的数据结构，其基本用途是维护序列的前缀和。

对于给定的序列$a$，建立数组$c$，其中$c[x]$的含义是以$x$为结尾的，长度为$lowbit(x)$的区间中所有数的和，即${\sum }_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]$。

单点更新：

void add(int x, int t) {for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += t;
}

区间查询：

int ask(int x) {int res = 0;for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += c[i];
}

对于查询：

我们想要得知以区间$[1,x]$的和，不妨从树状数组区间长度的划分和数组$c$的定义出发。我们知道，对于长度为$x$的区间，我们可以每次将其划分为长度为$lowbit(x)$的区间，并$x=x-lowbit(x)$。所以，我们很容易得到查询的代码。

复杂度是$O(logn)$。

对于更新：

除树根外，每个内部节点$c[x]$的父节点是$c[x+lowbit(x)]$。

复杂度是$O(logn)$。

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树状数组的扩展应用

以上介绍了树状数组的基本应用，即：

1. 修改数组中的一个数。
2. 查询区间和。

树状数组还有一些扩展应用，如：

扩展一：

1. 将区间$[l,r]$加上$c$。
2. 查询某个位置上的数。

扩展二：

1. 将区间$[l,r]$加上$c$。
2. 查询区间和。

扩展三： 结合其他算法(如：二分)实现更多功能

考虑扩展一

对于给定的序列$a$，考虑其差分数组$b$。

若想将区间$[l,r]$加上一个数，可以对应在差分数组上执行$b[l]=b[l]+c$，$b[r+1]=b[r+1]-c$。

若想查询某个位置$x$的数，即求位置$x$的前缀和。

以上两个操作是单点修改，区间查询。可以用树状数组解决。

考虑扩展二

对于区间给定的序列$a$，考虑其差分数组$b$。

若想将区间$[l,r]$加上一个数，可以对应在差分数组上执行$b[l]=b[l]+c$，$b[r+1]=b[r+1]-c$。

若想查询区间$[1,r]$的和，即${\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^i{b}_j$

对应代码为：

for (int i = 1; i <= r; i ++) for (int j = 1; j <= i; j ++) ans += b[j];

考虑以下表格

$a_1$	$b_1$
$a_2$	$b_1$	$b_2$
$a_3$	$b_1$	$b_2$	$b_3$
$...$
$a_i$	$b_1$	$b_2$	$...$	$b_m$

$a_1=b_1$

$a_2=b_1+b_2$

$a_3=b_1+b_2+b_3$

$...$

$a_i=b_1+b_2+...+b_m$

则$a_1+a_2+...+a_i=(b_1+b_2+...+b_m)\times (i+1)-(b_1+2\times b_2+3\times b_3+...+m\times b_m)$

可以看出，其转化成了$b$数组的前缀和，以及$i\times b[i]$数组的前缀和。可以用树状数组维护。

考虑扩展三

考虑如下问题，给定$for(i=1;i\le n;i++)cnt[i]=1$ 表示$1$到$n$中所有数均可用。

现需要：每次找到所有可用数中第$k$小的数，将该数存下，并将该数标记为不可用。

考虑维护数组$cnt$的前缀和数组，标记为不可用只需将$1\leftarrow 0$。

前缀和每次可以算出有多少可用的数，然后可以二分。

所以该问题需要的操作是：单点修改和区间查询。配合二分可以实现更多功能。