向量加法为什么满足平行四边形法则？向量范数（norm）和平行四边形法则之间存在什么关系，在什么空间不满足平行四边形法则？

向量加法为什么满足平行四边形法则？向量范数（norm）和平行四边形法则之间存在什么关系，在什么空间不满足平行四边形法则？

flyfish

1. 从欧氏几何空间的角度

在二维或三维欧氏空间中，向量可以被看作是从原点指向某个点的有向线段。对于两个向量$\mathbf{a}$ 和$\mathbf{b}$，可以构造一个平行四边形，其中$\mathbf{a}$ 和$\mathbf{b}$ 是相邻的两边。根据平行四边形法则，向量$\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 就是这个平行四边形的对角线之一。

• 直观描述：如果有两个力$\mathbf{a}$ 和$\mathbf{b}$ 作用于同一点，它们的效果可以用一个合力$\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 来代替，这个合力的方向和大小可以通过平行四边形法则找到。
• 数学表示：设$\mathbf{a}=(a_1,a_2,...,a_n)$ 和$\mathbf{b}=(b_1,b_2,...,b_n)$，则$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$。这种加法直接对应于将两个向量的分量逐个相加。

2. 从矩阵加法的定义出发

虽然向量通常被看作是一维列矩阵（或行矩阵），但矩阵加法的原则同样适用于向量加法。在矩阵加法中，两个矩阵相加意味着将对应的元素相加。对于向量来说，这等价于将向量的每个分量相加。

• 矩阵加法定义：如果$\mathbf{A}=[a_{ij}]$ 和$\mathbf{B}=[b_{ij}]$ 是两个相同维度的矩阵，则$\mathbf{A}+\mathbf{B}=[a_{ij}+b_{ij}]$。
• 应用于向量：考虑两个$n$ 维向量$\mathbf{a}=[a_1,a_2,...,a_n{]}^T$ 和$\mathbf{b}=[b_1,b_2,...,b_n{]}^T$，那么$\mathbf{a}+\mathbf{b}=[a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n{]}^T$。这与前面提到的向量加法定义一致。

平行四边形法则的证明

为了进一步证明平行四边形法则，可以通过内积来展示这一点。假设$\mathbf{a}$ 和$\mathbf{b}$ 是两个向量，那么：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$$
$$=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$$
$$=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$

同样地，

$$\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})$$
$$=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$$
$$=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$

将两者相加，得到：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=2\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$
$$=2(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)$$

当向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 正交时，即它们之间的夹角为 $90^{\circ }$ 或 $\pi /2$ 弧度，这意味着 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。在这种情况下，可以验证平行四边形法则。

验证

正交情况下的验证

设 $\Vert \mathbf{a}\Vert =1$ 和 $\Vert \mathbf{b}\Vert =1$，并且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$（因为正交），那么：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=1+0+1=2$$

同样地，

$$\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2-2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=1-0+1=2$$

根据平行四边形法则，

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=2+2=4=2(1^2+1^2)$$

这表明平行四边形法则在向量正交的情况下是成立的。

非正交情况下的验证

现在，考虑一个非正交的情况。假设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是两个单位向量，但它们之间不是正交的，比如夹角为 $60^{\circ }$ 或 $\pi /3$ 弧度。这时，$\cos (60^{\circ })=1/2$。

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=1+2(1/2)+1=3$$

而

$$\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2-2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2=1-2(1/2)+1=1$$

因此，

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=3+1=4=2(1^2+1^2)$$

即使在 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 不正交的情况下，平行四边形法则依然成立。这说明无论向量是否正交，只要它们的长度给定，平行四边形法则都适用。

对于由内积诱导的范数，平行四边形法则可以通过内积的性质直接证明

设 $V$ 是一个内积空间，$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 $V$ 上的内积，而 $\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}$ 是由该内积诱导的范数。要证明的是：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=2(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)$$

首先，利用范数和内积的关系来展开左边的表达式：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2=⟨\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}+\mathbf{b}⟩$$
$$=⟨\mathbf{a},\mathbf{a}⟩+⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩+⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩+⟨\mathbf{b},\mathbf{b}⟩$$
$$=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩+\overline{⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$
这里使用了内积的共轭对称性 $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=\overline{⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩}$ 和线性性。

类似地，

$$\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=⟨\mathbf{a}-\mathbf{b},\mathbf{a}-\mathbf{b}⟩$$
$$=⟨\mathbf{a},\mathbf{a}⟩-⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩-⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩+⟨\mathbf{b},\mathbf{b}⟩$$
$$=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2-⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩-\overline{⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$

将这两个结果相加，得到：

$$\Vert \mathbf{a}+\mathbf{b}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{a}-\mathbf{b}{\Vert }^2=(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩+\overline{⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)+(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2-⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩-\overline{⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩}+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)$$
$$=2\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2$$
$$=2(\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2)$$

由内积诱导的范数下，平行四边形法则总是成立的。这也说明了如果一个赋范向量空间满足平行四边形法则，那么它的范数可以由某个内积诱导。

某些空间不满足平行四边形法则

并非所有的赋范向量空间都满足平行四边形法则。平行四边形法则实际上是内积空间的一个特征，它表明如果一个赋范向量空间中的范数是由某个内积诱导的，那么这个空间必定满足平行四边形法则。然而，存在一些赋范向量空间，其范数不是由内积诱导的，因此这些空间不满足平行四边形法则。

1. $L^p$ 空间（$p\ne 2$）

对于 $p\ne 2$ 的 $L^p$ 空间，范数定义为
$$\Vert f{\Vert }_p={\left(\int |f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$$
当 $p\ne 2$ 时，这种范数不能由任何内积诱导。特别是 $L^1$ 和 $L^{\infty }$ 空间是典型的例子，它们的范数分别是积分绝对值和本质上的最大值，都不满足平行四边形法则。

2. 赋范线性空间中的 $l^p$ 序列空间

对于 $p\ne 2$ 的序列空间 $l^p$，其元素是所有绝对可 $p$ 次幂可求和的实数或复数序列，范数定义为
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$$
其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots )$。与 $L^p$ 空间类似，只有当 $p=2$ 时，$l^p$ 才是一个内积空间，此时范数由内积诱导，且满足平行四边形法则。对于其他 $p$ 值，$l^p$ 不满足该法则。

3. 有限维空间中的 $l^p$ 范数

即使在有限维空间中，如 ${\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$，选择不同的 $p$ 也能构造出不满足平行四边形法则的范数。例如，考虑 $l^1$ 范数（也称为曼哈顿距离）：
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$$
或者 $l^{\infty }$ 范数（即最大绝对值）：
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\max (|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|)$$
这两种范数都不是由内积诱导的，因此相应的空间也不满足平行四边形法则。虽然平行四边形法则是内积空间的重要性质，但很多常见的赋范向量空间并不具备这一特性。