开发领域：前端开发 | AI 应用 | Web3D | 元宇宙
技术栈：JavaScript、React、ThreeJs、WebGL、Go
经验经验：6 年+ 前端开发经验，专注于图形渲染和 AI 技术
开源项目：github 简智未来、数字孪生引擎、前端面试题
大家好！我是 [晓智]，一位热爱探索新技术的前端开发者，在这里分享前端和 Web3D、AI 技术的干货与实战经验。如果你对技术有热情，欢迎关注我的文章，我们一起成长、进步！
行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它广泛应用于矩阵计算、线性方程组求解、向量空间分析等领域。在这篇博客中，我们将探讨行列式的定义、几何意义、计算方法，并提供一个用 JavaScript 实现的行列式计算示例。
一、行列式的定义
**行列式（Determinant）**是一个标量值，用于描述一个方阵的特性，比如是否可逆或矩阵变换对空间的影响。
对于一个 ( n \times n ) 的方阵 ( A )，行列式记为：
[
\text{det}(A) \quad \text{或} \quad |A|
]
例如， ( 2 \times 2 ) 矩阵的行列式计算公式：
[
\text{det}
\begin{bmatrix}
a & b \
c & d
\end{bmatrix}
= ad - bc
]
对于 ( 3 \times 3 ) 矩阵：
[
\text{det}
\begin{bmatrix}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i
\end{bmatrix}
= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
]
二、行列式的几何意义
行列式的几何意义主要体现在以下两方面：
-
体积缩放因子：
行列式的绝对值表示矩阵变换对单位体积的放缩比例。例如，若矩阵 ( A ) 的行列式为 ( |A| = 6 )，则该矩阵将单位面积放大 6 倍。 -
方向：
行列式的正负值表示线性变换是否改变了坐标系的方向。- (|A| > 0)：未翻转方向；
- (|A| < 0)：翻转了方向（如镜像变换）。
三、行列式的性质
行列式具有以下性质：
- 交换任意两行（或列），行列式符号会改变；
- 行列式为零表示矩阵不可逆；
- 如果矩阵的某行（列）全为零，则行列式为零；
- 两行（或列）成比例，行列式为零；
- 行列式的值与矩阵的大小无关，但与矩阵的行和列的内容密切相关。
四、JavaScript 实现行列式计算
以下是一个递归实现任意阶矩阵行列式的 JavaScript 示例：
function determinant(matrix) {const n = matrix.length;// 检查是否为方阵if (!matrix.every(row => row.length === n)) {throw new Error("矩阵必须是方阵");}// 基础情况：1x1 矩阵if (n === 1) {return matrix[0][0];}// 基础情况：2x2 矩阵if (n === 2) {return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];}// 递归计算行列式let det = 0;for (let col = 0; col < n; col++) {const subMatrix = matrix.slice(1).map(row => row.filter((_, j) => j !== col));det += matrix[0][col] * determinant(subMatrix) * (col % 2 === 0 ? 1 : -1);}return det;
}// 测试
const matrix = [[1, 2, 3],[0, 4, 5],[1, 0, 6],
];console.log("行列式的值是:", determinant(matrix)); // 输出: -22
五、行列式的实际应用
行列式在以下领域有重要应用：
- 线性方程组求解： 使用克拉默法则（Cramer’s Rule）。
- 判断矩阵是否可逆： 行列式为零表示矩阵不可逆。
- 几何变换： 矩阵对空间的拉伸或缩放影响。
