复合泊松过程

复合泊松过程的均值、方差与特征函数

在这里插入图片描述

复合泊松过程 ( Y(t) ) 是一种常见的随机过程，通常定义为：

$\sum_{k=1}^{N(t)} X_k$

其中：

为了推导复合泊松过程的均值 ( \mathbb{E}[Y(t)] )，我们首先利用泊松过程和条件期望的性质。

泊松过程的均值：
泊松过程 ( N(t) ) 的均值为：

$\mathbb{E}[N(t)] = \lambda t$

复合泊松过程的均值：
复合泊松过程的均值通过以下公式计算：

$\mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}\left[ \sum_{k=1}^{N(t)} X_k \right]$

由于 ( X_k ) 是独立同分布的，因此可以利用条件期望的性质：

$\mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}[N(t)] \cdot \mathbb{E}[X_k]$

我们需要知道随机变量 ( X_k ) 的均值 ( \mathbb{E}[X_k] )。假设 ( X_k ) 的概率密度函数 ( f(x) ) 已知，那么我们可以通过以下积分计算期望：

$\mathbb{E}[X_k] = \int_{a}^{b} x f(x) dx$

在本例中，假设 ( f(x) ) 为均匀分布，计算结果为：

$\mathbb{E}[X_k] = 1500$

因此，复合泊松过程的均值为：

$\mathbb{E}[Y(t)] = 7500t$

复合泊松过程的方差公式为：

$\text{Var}(Y(t)) = \mathbb{E}[N(t)] \cdot \text{Var}(X_k)$

我们已经知道泊松过程的期望 $\mathbb{E}[N(t)] = 5t$ )。接下来，我们需要计算 ( X_k ) 的方差。

随机变量 ( X_k ) 的方差：
复合泊松过程的方差为：

$\text{Var}[Y(t)] = \lambda t \mathbb{E}[X^2].$
$$
具体推导可以看我的另一篇文章。
接下来计算 $\mathbb{E}[X^2]$

$\mathbb{E}[X^2] = \int_{a}^{b} x^2 f(x) dx$

特征函数（Characteristic Function）是描述随机变量分布的一种工具，它可以捕捉随机变量的全部统计信息。特征函数定义为：

$\varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$

其中，( t ) 是实数，( i ) 是虚数单位 $\sqrt{-1}$ )，而 ( X ) 是一个随机变量。

唯一性：特征函数唯一确定一个随机变量的分布。如果两个随机变量的特征函数相同，它们的分布也是相同的。
求和性质：若 ( X_1 ) 和 ( X_2 ) 是两个独立随机变量，则它们和的特征函数为：

$\varphi_{X_1 + X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) \cdot \varphi_{X_2}(t)$
期望与方差：特征函数的导数可以用于计算期望和方差。若特征函数在 ( t = 0 ) 处可导，则：
- 期望： $\mathbb{E}[X] = i \frac{d}{dt} \varphi_X(t) \Big|_{t=0}$
- 方差： $\text{Var}(X) = -\frac{d^2}{dt^2} \varphi_X(t) \Big|_{t=0}$
总是存在：无论随机变量的分布是什么，它的特征函数总是存在，因为对于任意 ( X )， $e^{itX}$ ) 的期望是有限的。

正态分布的特征函数：对于均值为 $\mu$ ) ，方差为 $\sigma^2$ ) 的正态分布 $\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ )，特征函数为：

$\varphi_X(t) = \exp\left(it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)$
泊松分布的特征函数：对于参数为 $\lambda$ ) 的泊松分布 $\sim \text{Poisson}(\lambda)$ )，特征函数为：

$\varphi_X(t) = \exp\left(\lambda (e^{it} - 1)\right)$