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同学们好！今天我们学习第五章第三节"积分的换元法和分部积分法"。这是定积分计算的核心方法，能将复杂积分转化为简单形式。我会从"换元法的原理""分部积分的逻辑"和"典型例题"三个维度展开，结合实例帮助大家掌握。
一、换元法：通过变量替换简化积分
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换元法的核心思想
定积分的换元法（又称变量代换法）与不定积分的换元法类似，都是通过变量替换将复杂积分转化为已知形式的积分。其本质是利用微分的链式法则，将原积分中的复合函数分解为简单函数。 -
定积分换元法的步骤
设f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足：
- φ(t)在区间[α,β]上单调可导（即φ’(t)≠0）；
- 当t∈[α,β]时，φ(t)∈[a,b]；
- φ(α)=a，φ(β)=b（或相反，根据单调性调整）。
则定积分可表示为：
∫(a到b)f(x)dx = ∫(α到β)f(φ(t))·φ’(t)dt
关键步骤：
(1) 选择合适的变量替换x=φ(t)
(2) 计算dx=φ’(t)dt
(3) 调整积分上下限（随t的变化而变化）
(4) 计算新的定积分
二、分部积分法：将乘积积分转化为和差积分
- 分部积分法的核心思想
分部积分法源于乘积的求导法则(uv)‘=u’v+uv’，将其积分后得到：
∫uv’dx = uv - ∫u’vdx
对于定积分，公式为：
∫(a到b)uv’dx = uv - ∫(a到b)u’vdx
关键选择：选择u和v’使得∫u’vdx比原积分更简单（通常遵循"反对幂三指"原则）。
三、典型例题与详细解析
例1：换元法——计算∫(0到1)√(1-x²)dx（单位圆面积的四分之一）
分析：被积函数√(1-x²)是圆的上半部分，直接积分困难。选择三角代换x=sin t（因√(1-sin²t)=cos t）。
步骤：
- 令x=sin t，则dx=cos t dt
- 当x=0时，t=0；当x=1时，t=π/2
- 积分变为∫(0到π/2)cos²t dt
- 利用三角恒等式cos²t=(1+cos2t)/2，积分得：
(1/2)t + (sin2t)/2 = π/4
结论：∫(0到1)√(1-x²)dx=π/4（单位圆面积的四分之一，正确）
例2：分部积分法——计算∫(0到1)xeˣdx
分析：被积函数是x（幂函数）与eˣ（指数函数）的乘积，根据"反对幂三指"原则，选u=x（幂函数优先），则dv=eˣdx。
步骤：
- 设u=x，则du=dx
- dv=eˣdx，则v=eˣ
- 应用分部积分公式：
∫(0到1)xeˣdx = xeˣ - ∫(0到1)eˣdx - 计算剩余积分：
xeˣ=e
∫(0到1)eˣdx=e-1 - 最终结果：e-(e-1)=1
验证：求导(xeˣ-eˣ)'=xeˣ，正确
例3：综合应用——计算∫(0到π/2)sin²x cosx dx
分析：被积函数是sin²x（幂函数）与cosx（三角函数）的乘积，可令u=sinx（因cosx dx=du）。
步骤：
- 令u=sinx，则du=cosx dx
- 当x=0时，u=0；当x=π/2时，u=1
- 积分变为∫(0到1)u²du=1/3
结论：∫(0到π/2)sin²x cosx dx=1/3（验证：求导(sin³x/3)'=sin²x cosx，正确）
四、换元法与分部积分法的对比与联系
方法 核心思想 适用场景 关键步骤
换元法 变量替换简化积分 含根式、分式、复合函数的积分 选择合适的φ(t)，调整上下限
分部积分法 乘积积分转化为和差积分 两个函数乘积的积分 选择u和dv，应用公式
五、常见误区与注意事项
- 换元法的变量替换错误
- 错误：未正确计算dx或调整积分上下限
- 解决：替换后务必检查dx的表达式，并重新计算上下限
- 分部积分的"选u"错误
- 错误：选择u为指数函数或三角函数
- 解决：遵循"反对幂三指"原则
- 忽略积分常数（定积分中不影响）
- 定积分的结果是数值，无需加常数C
六、课堂练习
练习1（换元法）：计算∫(0到4)1/(√x+1)dx
提示：令t=√x，结果为4-2ln3
练习2（分部积分法）：计算∫(0到1)x²lnx dx
提示：选u=lnx，dv=x²dx，结果为-1/9
七、总结
换元法和分部积分法是定积分计算的两大核心工具：
- 换元法通过变量替换将复杂积分转化为简单形式
- 分部积分法通过分解乘积积分转化为和差积分
