2.4线性方程组

线性方程组是线性代数的核心应用模块，本章重点围绕解的判定、结构、求解方法及特殊问题展开。以下从四个核心考点系统梳理：

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考点一：解的判定与解的结构

1. 解的判定

齐次方程组 $Ax=0$

• 唯一解（零解）：当 $r(A)=n$（系数矩阵秩等于未知数个数）
• 无穷多解（非零解）：当 $r(A)<n$

非齐次方程组 $Ax=b$

• 无解：$r(A)＜r(A|b)$
• 唯一解：$r(A)=r(A|b)=n$
• 无穷多解：$r(A)=r(A|b)<n$

2. 解的结构

齐次方程组

• 基础解系：满足以下条件的解向量组
  • 是解----满足 $Ax=0$ 或 $Ax=b$ 的条件
  • 线性无关
  • 个数 $s=n-r(A)$ n为方程中未知数的个数
  • 通解形式：$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_s{\xi }_s$ ， $k$ 为任意常数。

非齐次方程组

• 通解结构：
  • 非齐次通解 = 对应齐次通解 + 非齐次特解 ，即 $x=x_h+x_p$
  • $C_1{x}_h+C_2{x}_h=$ 齐次方程通解
  • $C_1{x}_p+C_2{x}_p=$
    • 对应齐次通解 $C_1+C_2=0$
    • 非齐次特解 $C_1+C_2=1$

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考点二：具体线性方程组的求解

1. 基本步骤

• 写出系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $(A|b)$
• 化行最简形矩阵
• 写出同解方程组
• 根据秩判断解的情况并求解

2. 参数方程组处理

• 化阶梯形确定自由变量
• 分情况讨论参数对解的影响

3. 不可逆矩阵方程 $Ax=B$

• 分块处理法：设 $X=(x_1,x_2,\dots ,x_k)$，分别解 $A{x}_i=B_i$
• 联立法：构造增广矩阵 $(A|B)$ 整体化简

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考点三：抽象方程组的求解

1. 基于解结构的求解

• 已知解的性质：利用解的线性组合、叠加原理推导通解
• 示例：若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 是基础解系，则通解为 $k_1{\xi }_1+k_2({\xi }_1+{\xi }_2)$

2. 列向量关系法

• 核心思路：将解向量视为列向量组，通过线性无关性等条件建立方程
  示例：设 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$，通过 $Ax=0$ 的列向量线性组合关系求解

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考点四：公共解与同解

1. 公共解

• 联立方程组：直接联立求解 $A_{1}x=0$ 与 $A_{2}x=0$
• 基础解系+方程组：将基础解系写为通解形式代入第二个方程，接出使之恒成立的 $k$ ，将 $k$ 代入通解，验证后即为所求
• 两个基础解系：令两通解相等，解出参数后代入其中一个验证

2. 同解判定

• 代入验证法：

  • 解第一个方程组的所通解代入第二个方程，恒成立；再验证两个方程系数矩阵的秩相等，若相等即为同解

• 秩等价法：

  • 验证两方程组系数矩阵行向量组等价，即两个方程组可以相互表示，即为同解

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典型例题解析

例1（公共解问题）：
已知方程组
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_2-x_3=0\end{array}\text{与}\{\begin{array}{l}{x}_1-x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{array}$$
解：联立得 $x_1=x_3=-x_2$，通解为 $k(-1,1,-1{)}^T$

例2（参数方程组）：
讨论 $a$ 取值对
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+a{x}_2=1\\ x_1+2x_2=a\end{array}$$
解的情况。
解：增广矩阵化简得 $r(A)=1$，当 $a=2$ 时无解，否则有唯一解

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总结

本章需重点掌握：

1. 解的判定与结构的关系（秩的应用）
2. 抽象方程组的结构分析法
3. 公共解的三种处理场景
   建议结合真题训练，强化分块矩阵和参数方程的处理能力。