随机微分方程（SDE）：股票价格模型、利率模型的构建

一、随机微分方程（SDE）基础：从确定性到随机性的扩展

1. 定义与一般形式

随机微分方程（SDE）是包含布朗运动（随机项）的微分方程，描述随机过程的动态变化，一般形式为：
$d X (t) = a (X (t), t) d t + b (X (t), t) d W (t)$

漂移项 $a (X (t), t)$ ：表示单位时间内的平均变化（如股票的预期收益率）。
扩散项 $b (X (t), t)$ ：表示随机波动的幅度（如股票的波动率）。
$W (t)$ ：标准布朗运动，驱动随机变化。

2. 与确定性微分方程的区别

解是随机过程，而非确定函数。
需用伊藤引理（随机微积分）求解，而非传统微积分。

二、金融中常用的SDE模型

1. 几何布朗运动（GBM）：股票价格模型

模型方程

$\mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$

金融意义：
- $\mu$ ：股票的期望收益率（真实世界）或无风险利率 $r$ （风险中性世界）。
- $\sigma$ ：股票的波动率，描述价格波动幅度。
解析解（通过伊藤引理求解）：
$\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W(t) \right)$
即 $\ln S(t)$ 服从正态分布，符合对数正态定价假设（如Black-Scholes模型）。

模拟代码（欧拉-Maruyama方法）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef gbm_simulation(S0, mu, sigma, T, N):dt = T / Nt = np.linspace(0, T, N+1)S = np.zeros(N+1)S[0] = S0for i in range(N):dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal()S[i+1] = S[i] * (1 + mu * dt + sigma * dW)return t, S# 示例：模拟1年股价路径（S0=100, mu=0.1, sigma=0.2）
t, S = gbm_simulation(100, 0.1, 0.2, 1, 252)
plt.plot(t, S); plt.title("几何布朗运动股价模拟"); plt.xlabel("时间"); plt.ylabel("S(t)");

可视化示例

在这里插入图片描述
图形应用说明

期权定价：Black-Scholes模型依赖GBM假设，模拟路径可验证期权定价合理性（如看涨期权价值与路径终端价格分布的关系）
风险分析：极端路径展示尾部风险，辅助计算VaR（如5%分位数对应最大亏损阈值）
项目估值：实物期权分析中，模拟资源价格路径评估采矿/能源项目价值（例：原油价格GBM模拟+阈值触发开发决策）

2. Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：利率均值回复模型

模型方程

$\kappa(\theta - r(t)) dt + \sigma dW(t)$

金融意义：
- $\kappa$ ：均值回复速度（利率向长期均值 $\theta$ 回归的快慢）。
- $\theta$ ：利率的长期均值。
- $\sigma$ ：利率波动率。
解析解：
$r(0)e^{-\kappa t} + \theta(1 - e^{-\kappa t}) + \sigma e^{-\kappa t} \int_0^t e^{\kappa s} dW(s)$
体现利率随时间向 $\theta$ 收敛的特性（如Vasicek模型）。

模拟代码

def ou_simulation(r0, kappa, theta, sigma, T, N):dt = T / Nt = np.linspace(0, T, N+1)r = np.zeros(N+1)r[0] = r0for i in range(N):dW = np.sqrt(dt) * np.random.normal()r[i+1] = r[i] + kappa*(theta - r[i])*dt + sigma*dWreturn t, r# 示例：模拟利率路径（r0=0.05, kappa=0.3, theta=0.04, sigma=0.02）
t, r = ou_simulation(0.05, 0.3, 0.04, 0.02, 1, 252)
plt.plot(t, r); plt.title("OU过程利率模拟"); plt.xlabel("时间"); plt.ylabel("r(t)");

可视化示例

在这里插入图片描述
图形应用说明

利率衍生品：Vasicek模型利率路径模拟，用于定价利率上限/下限（如路径触碰利率上限的频率计算溢价）
波动率建模：OU过程描述波动率均值回归特性（例：VIX指数模拟与波动率衍生品对冲策略测试）
商品套利：模拟具有均值回归特性的商品价差（如原油裂解价差），识别统计套利入场时机

3. Heston模型：随机波动率模型

模型方程

$\begin{cases} dS(t) = r S(t) dt + \sqrt{V(t)} S(t) dW_1(t) \\ dV(t) = \kappa(\theta - V(t)) dt + \sigma \sqrt{V(t)} dW_2(t) \end{cases}$

金融意义：
- 股价 $S (t)$ 的波动率 $V (t)$ 自身是一个OU过程（均值回复的随机变量）。
- $W_1(t)$ 与 $W_2(t)$ 的相关系数 $\rho$ 描述股价与波动率的相关性。
特点：解决Black-Scholes模型的固定波动率假设，拟合隐含波动率曲面。

三、SDE的求解方法

1. 解析解（适用于线性SDE）

条件：漂移项和扩散项为线性函数（如GBM、OU过程）。
方法：利用伊藤引理或变量替换，转化为确定性微分方程求解（如GBM的对数变换）。

2. 数值解（适用于非线性SDE）

欧拉-马利瓦因（Euler-Maruyama）方法：
离散化SDE为：
$X(t_{n+1}) = X(t_n) + a(X(t_n), t_n) \Delta t + b(X(t_n), t_n) \Delta W_n$
其中 $\Delta W_n \sim N(0, \Delta t)$ ，计算简单但精度较低（一阶收敛）。
米尔斯坦（Milstein）方法：
增加二阶项，精度更高：
$X(t_{n+1}) = X(t_n) + a\Delta t + b\Delta W_n + \frac{1}{2} b \frac{\partial b}{\partial x} (\Delta W_n^2 - \Delta t)$

3. 金融建模选择

模型类型	解析解可行性	数值方法适用性	典型金融场景
线性SDE（GBM）	可行	快速模拟路径	股票、外汇定价
非线性SDE（Heston）	不可行	需高阶数值方法	期权隐含波动率建模

四、SDE在金融建模中的核心作用

资产价格建模：
- GBM是Black-Scholes模型的基础，描述股价的对数正态特性。
- 跳跃扩散模型（如Merton模型）在SDE中加入泊松跳跃项，拟合极端波动。
利率建模：
- OU过程（Vasicek模型）解释利率的均值回复性，优于随机游走假设。
- HJM框架通过远期利率的SDE构建无套利利率曲面。
波动率建模：
- 随机波动率SDE（如Heston模型）解决“波动率微笑”问题，提升期权定价精度。