t检验详解：原理、类型与应用指南

t检验（t-test）是一种用于比较两组数据均值是否存在显著差异的统计方法，适用于数据近似正态分布且满足方差齐性的场景。以下从核心原理、检验类型、实施步骤到实际应用进行系统解析。

一、t检验的核心思想

原假设（H₀）：两组数据的均值无显著差异（( \mu_1 = \mu_2 )）。
备择假设（H₁）：两组数据的均值存在显著差异（( \mu_1 \neq \mu_2 )、( \mu_1 > \mu_2 ) 或 ( \mu_1 < \mu_2 )）。
检验统计量（t值）：
[
t = \frac{\text{均值差}}{\text{标准误}}
]
- t值越大，拒绝原假设的证据越强。
p值：在H₀成立时，观测到当前或更极端结果的概率。若p值 < 显著性水平（如0.05），则拒绝H₀。

二、t检验的三大类型及适用场景

类型	适用场景	公式（简化版）	示例
单样本t检验	检验单组数据均值是否等于某理论值	( t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} )	检验某生产线产品重量均值是否为50g
独立样本t检验	比较两组独立数据的均值差异（如A/B测试）	( t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} )	比较两种药物疗效差异
配对样本t检验	比较同一组受试者在两种条件下的差异（如前后测）	( t = \frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}} )（D为差值）	培训前后员工技能评分变化

三、t检验的实施步骤

验证前提条件：
- 正态性：Shapiro-Wilk检验或Q-Q图验证数据近似正态；
- 方差齐性（独立样本t检验）：Levene检验判断两组方差是否相等。
选择检验类型：根据数据特点选择单样本、独立样本或配对检验。
计算t值与自由度（df）：
- 独立样本t检验的df计算：
  [
  df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^{2}{\frac{(s_1}2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)2}{n_2-1}} \quad \text{（Welch校正）}
  ]
确定显著性：
- 查t分布表或用软件计算p值，对比预设显著性水平（如α=0.05）。
效应量计算：Cohen’s d评估差异的实际意义：
[
d = \frac{|\bar{X}_1 - \bar{X}2|}{s{\text{pooled}}}
]

四、t检验的常见问题与对策

问题	解决方案	示例
数据非正态	使用非参数检验（如Mann-Whitney U检验）	收入数据右偏时替代独立样本t检验
方差不齐	采用Welch校正的t检验（不等方差假设）	两组样本量差异大时优先使用
多重比较	校正显著性水平（如Bonferroni校正）	同时比较三组药物疗效时控制第一类错误率
小样本敏感性	结合效应量与置信区间解读结果	样本量n=10时谨慎依赖p值

五、t检验的软件实现

Python：

from scipy import stats
# 独立样本t检验（假设方差齐性）
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2)
# Welch校正（方差不齐）
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=False)
# 配对样本t检验
t_stat, p_value = stats.ttest_rel(pre_test, post_test)

R语言：

# 单样本t检验
t.test(data, mu = 50)
# 独立样本t检验
t.test(group1, group2, var.equal = TRUE)
# Welch校正
t.test(group1, group2, var.equal = FALSE)
# 配对样本t检验
t.test(pre, post, paired = TRUE)