算法系列之深度优先搜索寻找妖怪和尚过河问题的所有方式

在算法学习中，深度优先搜索（DFS）是一种常用的图搜索算法，通过递归或栈实现，适合路径搜索、连通性、拓扑排序、回溯、生成、环路检测、强连通分量和可达性等问题。本文将介绍如何利用深度优先搜索解决“妖怪和尚过河问题”的所有方式。

问题描述

有三个妖怪和三个和尚需要过河。他们只有一条小船，且船最多只能载两人。在任何时候，无论是岸边还是船上，如果妖怪的数量多于和尚，和尚就会被吃掉。如何安排过河顺序，才能让所有妖怪和和尚安全过河？列出所有可能的解？

问题分析

首先，我们需要将建立状态和动作的数学模型，我们要明确问题的状态表示。我们用五个属性来表示状态，

//左岸和尚数量
int leftMonk;
//左岸妖怪数量
int leftMonster;
//右岸和尚数量
int rightMonk;
//右岸妖怪数量
int rightMonster;
//-1代表左岸，1代表右岸
int boatLocation;

结合船移动的方向，一共右10中过河动作可供选择，分别是

* 1、一个妖怪从左岸到右岸
* 2、一个和尚从左岸到右岸
* 3、两个妖怪从左岸到右岸
* 4、两个和尚从左岸到右岸
* 5、一个和尚一个妖怪从左岸到右岸
* 6、一个妖怪从右岸到左岸
* 7、一个和尚从右岸到左岸
* 8、两个妖怪从右岸到左岸
* 9、两个和尚从右岸到左岸
* 10、一个和尚一个妖怪从右岸到左岸

我们的目标是从初始状态 (3, 3, 0, 0, -1) 通过一系列合法的移动，达到目标状态 (0, 0, 3, 3, 1)。

Java使用DFS解决问题

深度优先搜索和广度优先搜索一样，都是对图进行搜索的算法，目的也都是从起点开始搜索，直到到达顶点。深度优先搜索会沿着一条路径不断的往下搜索，直到不能够在继续为止，然后在折返，开始搜索下一条候补路径。我们可以将每个状态看作图中的一个节点，合法的移动就是节点之间的边。通过DFS，我们可以列出所有能过河的方式。

算法步骤

1. 初始化：将初始状态 (3, 3, 0, 0, -1) 作为递归的起始节点，并标记为已访问。

2. 递归寻找可能的路径：

• 取出当前的状态。

• 生成所有可能的下一步状态。

• 检查这些状态是否合法（即不违反妖怪和和尚的数量限制）。

• 如果某个状态是目标状态，则将当前节点添加到过河方式的集合中，回溯的时候将当前节点从访问标记set中删除。

• 否则，继续递归求解，并标记为已访问。

3. 递归完成后打印所有可能的过河方式

代码实现如下：

/*** 妖怪与和尚过河问题* 描述：* 有三个和尚和三个妖怪在河的左岸，他们需要过河到右岸。** 只有一条小船，最多可以承载两个人。** 在任何时候，无论是左岸还是右岸，如果和尚的数量少于妖怪的数量，和尚就会被妖怪吃掉。** 列出所有可能的解*/
public class DFSCrossRiver {/*** 状态类（数据模型）*/public static class State{//左岸和尚数量int leftMonk;//左岸妖怪数量int leftMonster;//右岸和尚数量int rightMonk;//右岸妖怪数量int rightMonster;//-1代表左岸，1代表右岸int boatLocation;//前一状态，用于回溯打印路径State preState;public State(int leftMonk, int leftMonster, int rightMonk, int rightMonster, int boatLocation, State preState) {this.leftMonk = leftMonk;this.leftMonster = leftMonster;this.rightMonk = rightMonk;this.rightMonster = rightMonster;this.boatLocation = boatLocation;this.preState = preState;}@Overridepublic boolean equals(Object o) {if (this == o) return true;if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;State state = (State) o;return leftMonk == state.leftMonk && leftMonster == state.leftMonster && rightMonk == state.rightMonk && rightMonster == state.rightMonster && boatLocation == state.boatLocation ;}@Overridepublic int hashCode() {return Objects.hash(leftMonk, leftMonster, rightMonk, rightMonster, boatLocation);}}/*** 动作类，记录妖怪与和尚过河的动作*/@Datapublic static class Action{int monkNum; //船上和尚数量int monsterNum;//船上妖怪数量int boatLocation;//船移动后位置public Action(int monkNum, int monsterNum, int boatLocation) {this.monkNum = monkNum;this.boatLocation = boatLocation;this.monsterNum = monsterNum;}}/*** 列举过河动作的可供选择* 共有十种情况* 1、一个妖怪从左岸到右岸* 2、一个和尚从左岸到右岸* 3、两个妖怪从左岸到右岸* 4、两个和尚从左岸到右岸* 5、一个和尚一个妖怪从左岸到右岸* 6、一个妖怪从右岸到左岸* 7、一个和尚从右岸到左岸* 8、两个妖怪从右岸到左岸* 9、两个和尚从右岸到左岸* 10、一个和尚一个妖怪从右岸到左岸**/public static List<Action> getActions(){List<Action> actions = new ArrayList<>();//一个妖怪从左岸到右岸actions.add(new Action(0,1,1));//两个妖怪从左岸到右岸actions.add(new Action(0,2,1));//一个和尚从左岸到右岸actions.add(new Action(1,0,1));//两个和尚从左岸到右岸actions.add(new Action(2,0,1));//一个和尚一个妖怪从左岸到右岸actions.add(new Action(1,1,1));//一个妖怪从右岸到左岸actions.add(new Action(0,1,-1));//两个妖怪从右岸到左岸actions.add(new Action(0,2,-1));//一个和尚从右岸到左岸actions.add(new Action(1,0,-1));//两个和尚从右岸到左岸actions.add(new Action(2,0,-1));//一个和尚一个妖怪从右岸到左岸actions.add(new Action(1,1,-1));return actions;}/*** 初始状态*/public static State initState(){State state = new State(3,3,0,0,-1,null);return state;}/*** 生成所有可能的下一个状态*/public static List<State> generateNextStates(State state){List<State> nextStates = new ArrayList<>();State nextState;for (Action action : getActions()) {if(state.boatLocation != action.boatLocation){nextState = new State(state.leftMonk - action.monkNum*action.boatLocation, state.leftMonster - action.monsterNum*action.boatLocation,state.rightMonk + action.monkNum*action.boatLocation, state.rightMonster + action.monsterNum*action.boatLocation,action.boatLocation, state);//有效则添加if(checkState(nextState)){nextStates.add(nextState);}}}return nextStates;}/*** 检查状态是否有效,(无论是左岸还是右岸，和尚数量大于妖怪数量则有效)*/public static boolean checkState(State state) {//任何一岸的和尚数量不能少于妖怪数量，除非和尚数量为0。if(state.leftMonk < 0 || state.leftMonster < 0 || state.rightMonk < 0 || state.rightMonster < 0){return false;}//不管是左岸还是右岸，和尚数量大于妖怪数量或者和尚全部在河对岸则有效,船也只能从对岸来回开return (state.leftMonk == 0 || state.leftMonk >= state.leftMonster)&& (state.rightMonk == 0 || state.rightMonk >= state.rightMonster) && state.boatLocation !=state.preState.boatLocation;}/*** 判断是否成功*/public static boolean isSuccess(State state){return state.leftMonk == 0 && state.leftMonster == 0;}/*** 深度优先搜索方式解决渡河问题* 添加所有可能的方式*/public static void crossRiver(State state,Set<State> visited,List<State> resultStates){//每次递归之前都要检查是否成功，如果成功则添加到结果集合中，并返回。if(isSuccess(state)){resultStates.add(state);return ;}//递归深度优先搜索for(State nextState : generateNextStates(state)){if(!visited.contains(nextState)){//每种方式都要添加到已访问集合中，避免重复搜索visited.add(nextState);crossRiver(nextState,visited,resultStates);visited.remove(nextState);}}}/*** 递归打印路径*/public static void  printPath(State state){if(state.preState == null){return;}printPath(state.preState);System.out.println("从"+(state.preState.boatLocation==-1?"左":"右")+"岸到"+(state.boatLocation==-1?"左":"右")+"岸");System.out.println("和尚："+state.leftMonk+" "+state.rightMonk);System.out.println("妖怪："+state.leftMonster+" "+state.rightMonster);}public static void main(String[] args) {State initState = initState();List<State> result = new ArrayList<>();Set<State> visited = new HashSet<>();visited.add(initState);crossRiver(initState,visited,result);int i =1;for(State state : result){System.out.println("--------------方式"+i+"---------------------------");printPath(state);i++;}}
}

执行结果如下：

--------------方式1---------------------------
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：0 3
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：3 0
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：0 3
--------------方式2---------------------------
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：0 3
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：3 0
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：0 3
--------------方式3---------------------------
从左岸到右岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：0 3
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：3 0
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：0 3
--------------方式4---------------------------
从左岸到右岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：3 0
妖怪：0 3
从右岸到左岸
和尚：3 0
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：2 1
妖怪：2 1
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：2 1
从右岸到左岸
和尚：0 3
妖怪：3 0
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：1 2
从右岸到左岸
和尚：1 2
妖怪：1 2
从左岸到右岸
和尚：0 3
妖怪：0 3

总结

通过深度优先搜索，我们可以找到所有可能的过河方案。这个问题展示了如何通过状态空间搜索来解决经典的逻辑问题。希望这篇博客对你理解妖怪与和尚过河问题的解法有所帮助！