矩阵论第四章：范数

1.向量范数的三个定义

1. 非负性：x ≠ 0 时 ||x|| ＞ 0，当 x = 0 时，||x|| = 0
2. 齐次性：可以抽出 k 来，即 ||kx|| = ||k||·||x||
3. 三角不等式：||x+y|| <= ||x|| + ||y||
   

2. 向量范数求法

3.例题：证明向量范数的存在

4. 矩阵范数

迹 tr：矩阵对角线元素之和

矩阵的二范数：
第一范数：每个列的元素相加，取求和最大的列的值【列最大】
无穷大范数：行最大
第二范数：取最大 ATA 的特征值

矩阵第二范数的证明
即 A 的2范数为 ATA的最大特征值

证明矩阵的相容性：
核心：||AB||<=||A|| ||B||，则说明 ||A|| 和 ||B|| 是相容的
谱半径：p(A) 谱半径等于最大的特征值的模

谱半径与范数的关系：前者 <= 后者

5.矩阵范数的证明

证明四个特性的存在：

1. 非负性
2. 齐次性
3. 三角不等式
4. 相容性